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Productions d'élèves

Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.

  • Article : Croissance des cristaux - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
    Article franco-roumain qui traite d'une modélisation de croissance d'un cristal. On part d'un cube. A chaque nouvelle génération, on colle sur chaque face libre un nouveau cube. On s'intéresse au nombre de cubes du cristal à la n-ième génération
    Mots clés: suite, évolution, géométrie dans l'espace, récurrence Voir aussi : http://www.lyc-altitude.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?article91
  • Article : Problème du Carreleur - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
    Ces travaux portent sur le pavage du plan par des pentagones de taille égale, et visent à trouver un pavage qui maximise le taux de surface couverte. Trois motifs sont étudiés, en fleur, en ligne et en cercle, avec leur taux de couverture calculé à partir des formules de trigonométrie. Enfin un dernier pavage complexe est proposé, avec son taux de couverture calculé à l’aide du logiciel GeoGebra.
    Mots clés: pavage, pentagone, trigonométrie
  • Article : Jeu de dominos - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
    Le jeu est constitué d’un quadrillage de taille variable (n*n) avec des dominos de taille (2*1) que l’on peut disposer soit verticalement soit horizontalement. Il existe deux variantes de ce jeu : ¤ Une où le joueur qui ne peut plus jouer perd ¤ L’autre où le joueur qui ne peut plus poser de dominos gagne Notre objet d’étude sera de trouver une stratégie gagnante. Par la suite nous étudierons comment le jeu s’organise lorsqu’on a des grilles de tailles rectangulaires.
    Mots clés: jeu combinatoire, domino, stratégie gagnante
  • Article : Les motifs évitables - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
    L’objectif est de créer des mots infinis (exemple : abbaabab… ) à l’aide d’un alphabet défini (exemple : avec uniquement les caractères"a" et "b"), tout en évitant la répétition d’un certain motif. Dans l’article, les auteurs prouvent qu’il n'est pas possible de créer un mot infini à l’aide d’un alphabet de 2 caractères en évitant le motif carré (répétition de deux ensembles de caractères identiques et successifs), mais qu’il est possible d’éviter le motif cube (répétition de trois ensembles de caractères identiques et successifs). La preuve s’appuie sur l’existence du mot de Morse qui, par construction, ne contient pas de motif cube. Ensuite, les auteurs prouvent qu’il est possible de créer un mot infini avec un alphabet de 3 caractères en évitant le motif carré.
    Mots clés: combinatoire de mots
  • Article : Plus court chemin - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
    C'est un article qui reprend la progression et la recherche des élèves tout au long de l'année. Les élèves ont commencé par faire des essais pour calculer les longueurs sur la sphère terrestre : certains ont été assez concluant d'autres non. Étant bloqués par de la technicité le chercheur leur a fourni les "outils" pour continuer. Finalement ils ont vérifié ce que leur avait donné le chercheur sur les différentes villes qu'ils ont testé, et ils ont réussi à obtenir des résultats cohérents.
    Mots clés: chemin, court, vol avion
  • Article : Topins et Gelins - Lycée la Versoie (Thonon les Bains)
    Le but de cet article est d'étudier le jeu suivant. On part de n points. Deux joueurs s'affrontent. A chaque tour, un des joueurs trace une ligne entre 2 points et ajoute un point sur cette ligne. Le nombre de lignes auxquelles appartient un point est limité à un entier dmax. Les lignes ne peuvent pas se croiser. Le premier joueur à être bloqué perd la partie. Dans un premier temps, les élèves présentent l'étude du nombre maximal de tours du jeu en fonction du nombre de points initial, en utilisant une suite arithmétique. Ensuite, on peut lire des essais de stratégies gagnantes pour chacun des deux joueurs dans le cas où le nombre de points initial vaut 3. Enfin d'autres pistes de recherche sont présentées, pour généraliser et essayer de simuler informatiquement une partie du jeu. .
    Mots clés: stratégie, Graphes, suites
  • Article : Le jeu du solitaire - Collège Frédéric Mistral (Avignon) Collège Gérard Philipe (Avignon)
    Recherche d'une stratégie gagnante pour le jeu du solitaire et le jeu de la rivière utilisant les même règles de déplacement que le solitaire.
    Mots clés: solitaire, purge, rivière
  • Article : Les petits robots reproducteurs - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
    On place des robots sur une grille de taille infinie. Ces robots évoluent, c'est-à-dire naissent, meurent ou survivent, tour après tour, selon des règles définies avant de commencer, et immuables d'un tour à l'autre. Comment les robots vont-ils être répartis sur la grille ? Quand arrivera-t-on à une situation stable où aucun robot ne nait ni ne meurt ? Est-ce qu'il y a une situation limite à la taille de ces configurations ? Que se passe-t-il si on modifie les règles ?
    Mots clés: système dynamique discret, automate cellulaire, jeu de la vie
  • Article : Si j’avais une scie - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
    its called a … its called a diatonic accordion, or button box this particular type of accordion is for rockin it out, in cajun, blues, zydeco, even rock ooh yes , accordions ruuuleVA:F [1.9.16_1159]please wait...VA:F [1.9.16_1159](from 0 votes)
    Mots clés: algorithme, mise en équation de problème, découpage du plan Voir aussi : http://www.freecoinsnonstop.us/meez-coin-generator-no-survey-2014.html
  • Article : Périmètre de la Terre et tour Eiffel - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
    Article décrivant les calculs pour obtenir la longueur de corde à rajouter au périmètre de la Terre pour passer au sommet de la Tour Eiffel (après un premier problème où l'on rajoute 1m de corde au périmètre de la Terre et savoir si un chat peut passer sous la corde)
    Mots clés: trigonométrie, périmètre du cercle, tangente à un cercle
  • Article : Hauteur d une pyramide de billes - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
    Article décrivant la démarche pour trouver la hauteur d'une pyramide de billes en fonction du nombre de billes
    Mots clés: hauteur d'un triangle, théorème de Pythagore
  • Article : Pavage avec des polygones - Collège Henri de Montherlant (Neuilly en Thelle)
    Quel type de polygones permettent de paver le plan ? Pourquoi ? Dans cet article, les élèves cherchent à faire des pavages à l'aide de polygones réguliers. Après quelques essais, ils montrent que seuls les triangles, les carrés et les hexagones réguliers marchent pour les polygones réguliers avec un nombre de côtés inférieurs ou égal à 12 (en réalité, ils ne se sont pas aperçus qu'ils ont généralisé à tous les polygones réguliers).
    Mots clés: pavage, polygone, régulier
  • Article : Illumination - Lycée de Provence (Marseille)
    Dans l'article on suppose que deux personnes qui ne se supportent pas sont placées dans une salle où tous les murs sont couverts de miroirs. La question est quel est le plus petit nombre de personnes qu'il faut placer dans la salle et à quel endroit pour que les deux personnes qui ne se supportent pas ne se voient pas ni directement ni par l'intermédiaire des miroirs. Le premier cas considéré est celui d'une salle rectangulaire et le cas est traité intégralement. Dans une deuxième partie de l'article, les auteurs considèrent aussi le cas d'une salle en forme d'ellipse et ils traitent le cas où au moins une des deux personnes est placée dans un des foyers de l'ellipse. Dans la dernière section le cas d'une salle de forme plus complexe, obtenue en collant deux demi-ellipses à un rectangle, est aussi discuté.
    Mots clés: symétrie, point milieu, réflexion, ellipse, billard
  • Article : billard polygonal - Lycée de Provence (Marseille)
    On étudie les trajectoires périodiques d’un rayon lumineux fictif ou d’une boule de billard dans un triangle. Outre des résultats classiques et anciens, la conjecture de Katok est abordée et deux types de trajectoires sont étudiées : celles qui sont périodiques car elles rebroussent chemin après avoir chu sur un côté perpendiculairement à celle-ci et celles qui rebroussent chemin en se coinçant dans un angle aigu.
    Mots clés: Triangle orthoptique, conjecture de Katok, billards, trajectoires périodiques.
  • Article : Pavage de la place du village - Collège le Vieux Chêne (La Flèche)
    Il s'agit d'un travail d'un groupe de 5 élèves qui ont travaillé sur des pavages réguliers avec des polygones réguliers. Dans un premier temps, ils devaient chercher la définition d'un pavage régulier, ainsi que d'un polygone régulier. Ensuite, ils se sont concentrés sur un sommet au hasard et la somme des angles autour de ce sommet. Ils en ont déduit des équations facilitant la recherche des pavages. Un bon travail de recherche. Ils ont pu également se confronter au raisonnement par l'absurde (raisonnement qui n'est pas au programme du collège). Ce groupe a aussi participé au prix André Parent au solon de la culture et des jeux mathématiques à Paris: Voici ce que le jury a trouvé du groupe: "Un beau sujet bien traité et mathématiquement fouillé", "une belle réactivité aux questions du jury", "un travail de géométrie intéressant". Ce sujet porte sur les problèmes du pavage. Après avoir bien décrit ce qu'était un pavage, les élèves démontrent une condition nécessaire (qu'ils précisent non suffisantes) pour être un pavage.
    Mots clés: pavage, pavage régulier, polygone régulier, geogebra, raisonnement par l'absurde, hexagone
  • Article : Cinq disques et un rectangle - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
    Le principe de cet article est cherché à savoir s'il est possible de rentrer cinq disques de rayon 1 dans un rectangle de taille 8 par 3,33. Après quelques manipulations, les élèves ont démontré la largeur minimale nécessaire du rectangle si la longueur est de 8 et en ont conclus qu'il est possible de faire rentrer les cinq disques dans le rectangle.
    Mots clés: Pythagore - Géométrie
  • Article : Choix optimal des pièces de monnaie - Lycée Żmichowska (Varsovie)
    Soit une collection N = {n1,n2 , …,nk } de k entiers (non nécessairement consécutifs). Notons S = n1+n2+…+nk et considérons l’ensemble R des nombres qu’on peut obtenir en sommant des éléments de N. Pour quels choix de ni a-t-on R = {1, 2, …, S}?
    Mots clés: puissances de 2, suites géométriques
  • Article : Pavage du cube - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
    L'article présente les résultats et de nombreuses preuves sur le sujet qui consistait à paver un cube avec des tuiles de manière à ce que les triangles adjacents soient de même couleur. L'article se termine par un lien vers un projet conçu et développé par un des élèves de l'atelier sur le site Scratch, qui permet de tester des patrons de cube.
    Mots clés: pavage, cube, tuiles, Scratch Voir aussi : https://scratch.mit.edu/projects/107032285/
  • Article : Et la lumière fut ! - Université de Bordeaux (Talence) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
    Nous considérons ici des grilles rectangulaires d’ampoules, munies d’interrupteurs pour chaque ligne et chaque colonne d’ampoules ayant pour rôle de changer l’état de chaque ampoule, indépendamment, dans la rangée concernée. Nous montrons que pour de telles grilles initialement éteintes, il n’est pas possible d’allumer une seule ampoule par une combinaison d’interrupteurs, et que le minimum d’ampoules qu’il est possible d’allumer est alors égal à la plus petite valeur entre la longueur et la largeur de la grille. Le principe de ce sujet est de regarder ce qu'il se passe si nous avons une grille d'ampoules et qu'un interrupteur change de statut toute une ligne ou toute une colonne. Après avoir montré qu'il n'est pas possible d'allumer moins de l'équivalent d'une rangée en ligne ou en colonne (à moins de tout éteindre), les élèves généralisent le sujet à différents cas.
    Mots clés: Logique – Table de vérité – Fonctions de deux variables - Dérivées
  • Article : La fausse pièce - Collège de Marciac (Marciac)
    L'article présente la démarche entreprise par les élèves. Il détaille également les calculs effectués pour trouver les solutions (calcul "à la main" et avec le tableur). Il se termine par une conjecture.
    Mots clés: logarithme, puissance de 2, tableur, méthode de dichotomie
  • Article : Le berger et ses moutons - Collège de Marciac (Marciac)
    Les élèves cherchent quel triangle de périmètre donné a une aire maximale. L'article reprend le fil chronologique des démarches entreprises par les élèves pour ce sujet. Il détaille également les différentes figures géométriques dessinées par les élèves pour trouver les solutions. Il présente une démonstration rigoureuse d'un résultat partiel. Et se termine par une conjecture.
    Mots clés: ellipse, géométrie, périmètre, aire, maximum
  • Article : Musique et gamme tempérée - Lycée Saint Paul (Roanne)
    L'article traite du problème de la définition de la gamme divisée en 12 degrés en Occident. Qu'est ce qu'une note ? pourquoi ce choix de 12 degrés ? Ne pourrait on pas faire mieux ? Toutes ces questions (et d'autres) sont étudiées dans cet article.
    Mots clés: gamme pythagoricienne, gamme tempérée, rapport de fréquences, fraction continue
  • Article : Les nombres infinis - Lycée Rabelais (Saint Brieuc)
    NOMBRES INFINIS Par  Alexis SANTORO, Anthonin MARTINEL, Coralien PINCK, Quentin DEPOORTERE Problématique : Les nombres entiers naturels s'écrivent avec un nombre fini de chiffres. On s'intéresse ici aux nombres que l'on peut écrire avec une infinité de chiffres. L'ensemble de ces "nombres infinis" contient l'ensemble des entiers naturels, puisqu'on peut écrire par exemple : 48= ...000000000000048. Les opérations d'addition, de multiplication entre nombres infinis se font comme d'habitude (avec des retenues), pourtant l'ensemble des nombres infinis réserve quelques surprises ! Les nombres infinis contiennent-ils des entiers relatifs négatifs, des nombres rationnels ? Si oui, peut-on toujours effectuer une soustraction, une division ? Les élèves ont défini les nombres infinis comme les suites infinies à gauche de chiffres, et étendent dessus les opérations usuelles : addition, multiplication, opposé, inverse. Un nombre infini est inversible si et seulement s’il se termine par 1, 3, 7 ou 9. Des algorithmes sont donnés pour trouver l’opposé et l’inverse. De plus une fraction équivalente est trouvée pour les nombres infinis qui ont une partie périodique.
    Mots clés: nombre, somme, produit, opérations, algorithme, fractions
  • Article : Le défi du prisonnier - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
    Dans une lointaine contrée, un homme est fait prisonnier. Une chaîne est attachée à un de ses pieds puis enroulée autour de 4 barreaux et enfin rattachée à son autre pied. Le roi, joueur, lui lance le défi suivant : « Si tu t’enchaînes aux 4 barreaux de sorte que tu sois prisonnier mais que lorsque j’enlève un barreau (n’importe lequel) tu sois libéré, c’est-à-dire que la chaîne se déroule, alors tu seras libre ! Dans le cas contraire tu devras purger ta peine. Attention, tu n’as le droit qu’à une seule tentative.» Pouvez-vous aider le prisonnier ? Sachez que le roi déteste les tricheurs et que si avant d'enlever un barreau le prisonnier n'était pas vraiment attaché, il restera en prison à vie. Le texte résout ce problème en donnant une solution pour 4 barreaux mais également pour un, deux et trois barreaux (et en proposant un début de stratégie pour montrer qu'une solution existe pour n'importe quel nombre de barreaux), fondée sur un codage des configurations par des mots avec des règles de simplification.
    Mots clés: théorie des noeuds
  • Article : Le carrelage de la reine - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
    La reine veut réaliser plus de 200 pavages dans son palais, formés seulement de polygones réguliers en pensant que cela est facilement réalisable. Son carreleur, lui indique qu'il n'y a que très peu de combinaisons possibles. Qu'en pensez-vous? Si on considère l'énoncé tel que présenté, il y a une infinité de carrelages possible mais en précisant les conditions sur le carrelage, nous pensons qu'il n'y a que quelques cas possibles.
    Mots clés: pavage, polygone, carré, triangle, hexagone, angle
  • Article : Le jeu des bâtonnets - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
    Deux joueurs jouent au jeu des bâtonnets. Voici la règle. On observe un nombre indéfini de paquets, avec dans chaque paquet un nombre indéfini de bâtons. Chacun leur tour, les joueurs retirent tant de bâtons qu’ils veulent, mais en choisissant un tas particulier et un seul. Le joueur qui enlève le dernier bâton a perdu. Dans cet article, les auteurs présentent une stratégie pour gagner à ce jeu dans certaines configurations (1 paquet, 2 paquets, ou 3 paquets dans certains cas précis).
    Mots clés: combinatoire, jeu, stratégie
  • Article : Café ou Chocolat ? Suite de 0 et 1 sans cube - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
    L'article est une illustration du phénomène suivant (théorie des langages) : on peut construire une suite infinie de 0 et de 1 ne contenant aucun cube, c.a.d. ne contenant aucun mot W se répétant trois fois de suite : …WWW… En remplaçant "0" par du "café" et "1" par du "chocolat", on peut ainsi choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' ou 'chocolat', sans qu'aucune séquence ne se répète trois fois de suite, cela indéfiniment. En ajoutant un troisième choix sous la forme de 'thé', on peut également choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' , 'chocolat', ou 'thé', sans qu'aucune séquence ne se répète deux fois de suite, cela indéfiniment. OU comment varier ses plaisirs!
    Mots clés: alphabet, mot, longueur de mot, répétition, carré, cube.
  • Diaporama : Machine à Bac - Lycée Maillol (Perpignan) Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
    Pour faire des économies, le ministère décide d'octroyer le bac de la façon suivante : le candidat rentre un mot (suite de lettres) dans la Machine à Bac qui renvoie soit « ajourné définitivement», soit « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », soit « reçu ». On a une relation R sur ces mots qui vérifie 4 règles : AxA R x pour tout mot x et si x R y, alors Bx R yy, Cx R y et Dx R Ay, où y désigne le mot y écrit à l'envers. On sait de plus que, si x R y, si la machine à bac renvoie « ajourné définitivement», resp. « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », pour x, elle renverra « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », resp. « ajourné définitivement», pour y. L'objectif est de trouver le plus possible de mots dont on est certain qu'il amèneront à l'admission au Bac. Ceci est expliqué dans ce diaporama.
    Mots clés: combinatoire, logique.
  • Article : Tables de Poséidon - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Les tables de Poséidon sont construites de telle sorte que : les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres, le nombre de la deuxième ligne est le double du nombre de la première et le nombre de la troisième ligne est le triple du nombre de la première. L'article démontre qu'il existe 6 tables de Poséidon dans lesquelles chaque chiffre est utilisé une seule fois. Le sujet est ensuite étendu avec des tables construites de la même façon mais en acceptant un nombre de 4 chiffres à la dernière ligne : cette fois, aucune de ces tables ne contient des chiffres tous différents. Autre extension : en changeant les coefficients entre la première ligne et les deux autres ; aucune table n'a été trouvée avec les coefficients 2 et 4.
    Mots clés: table
  • Article : La persistance des nombres - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
    Prenons un entier naturel, et calculons le produit de tous ses chiffres. Répétons l'opération, et recommençons jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Ce processus s'arrête-t'il toujours ? Les auteurs montrent que c'est bien le cas, et à l'aide d'un programme informatique, trouvent un nombre pour lequel le nombre d'étapes du processus aussi appelé ''persistance'', est égal à 11 , ce qui est la plus grande valeur connue.
    Mots clés: théorie des nombres, arithmétique
  • Article : Qui est dans la pièce ? - Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)
    Étude des propriétés de la pièce de 20 pence (qui n'est pas ronde).
    Mots clés: pièce de 20 pence, propriétés, Reuleaux, pièce de monnaie, heptagone
  • Article : Carré magique - Collège André Malraux (Ramonville-Saint-Agne)
    Article sur la construction d'un carré magique 3x3
    Mots clés: carré, magique
  • Article : Coloriage - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
    Le problème de coloriage d'une carte géographique consiste à attribuer à chaque pays d'une carte une couleur de sorte que deux pays avec une frontière commune ne soient pas attribués la même couleur. On souhaite colorier une carte donnée avec un nombre minimum de couleurs. Combien en faut-il pour colorier toutes les cartes possibles ? On appelle ce nombre le le nombre chromatique ? Cette question, difficile, est abordé, d'abord sous l'angle de la caractéstique d'Euler de la configuration des pays ; ce qui donne un invariant, très intéressant, mais qui n'apporte pas d'information directe sur le nombre chromatique même si ce dernier, tout comme la caractéristique d'Euler, ne dépend que de la forme (topologie) du support sur lequel on dessine les cartes. En donnant un exemple explicite, les élèves montrent que 4 couleurs sont nécessaires pour colorier toutes les cartes (dans le plan). Une preuve du fait que 4 couleurs suffisent existe, mais elle utilise de façon importante des calculs faits sur ordinateur. Le cas de cartes sur un tore est aussi brièvement évoqué.
    Mots clés: Problème des 4 couleurs, nombre chromatique, caractéristique d'Euler
  • Article : Larsen visuel - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
    On découpe un rectangle en 9 rectangles dont les dimensions sont le tiers des dimensions du premier rectangle ; on itère cette procédure sur chacun des petites rectangles ainsi obtenus puis on recommence…et ainsi de suite. L'article montre que les aires de chacun des petits rectangles tendent vers 0, mais la somme de ces aires à chaque étape est toujours égale à l'aire du rectangle de départ. Par contre, les périmètres de chacun des petits rectangles tendent aussi vers 0 mais leur somme à chaque étape tend vers l'infini. Que se passe-t-il lorsque on préserve une « marge » entre chacun des petits rectangles ? Il peut arriver que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers l'infini, ou que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers 0, ou même que l'une tende vers 0 l'autre vers l'infini.
    Mots clés: périmètre, aire, somme infinie, limites
  • Article : Tasso solitaire sur une grille - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
    Cet article s'intéresse à des dispositions de dominos sur une grille, qui satisfont un certain nombre de contraintes. Un nombre théorique est calculé, avec la présentation de méthodes permettant d'obtenir ce maximum dans plusieurs cas.
    Mots clés: domino, empilement, optimisation
  • Article : Produit de nombres - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
    Article rédigé sous LaTex
    Mots clés: produit, enumération
  • Article : Maladie génétique récessive - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
    L'article étudie la propagation d'une maladie génétique récessive, comme par exemple la muscoviscidose. On développe une modélisation probabiliste.
    Mots clés: modélisation, probabilité, maladie génétique
  • Article : rentrer chez soi - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
    Le problème étudié dans cet article est le suivant: on se situe sur une grille carrée et on trace un chemin, potentiellement infini, au hasard, c’est-à-dire qu’à chaque intersection, on choisit au hasard une direction (y compris celle d’où l’on vient). On se demande quelle est la probabilité de retourner au point de départ. Les auteurs étudient dans un premier temps le problème en dimension un puis en dimension 2. Ils calculent la probabilité d’être au point de départ au temps 2n (ils ont d’abord prouvé qu’on ne peut jamais être au point de départ en un temps impair), puis s’intéressent aussi à la probabilité de premier retour au temps 2n, et à la probabilité de retour avant le temps 2n (au sens large) pour n petit. Les résultats obtenus et quelques simulations à l’aide d’un algorithme les mènent à conjecturer que l’on revient toujours au point de départ.
    Mots clés: marche aléatoire sur une grille, Graphes, chemins fermés, probabilité.
  • Article : Les nombres de Harshad - Lycée Beaupré (Haubourdin)
    Les nombres de Harshad sont les entiers positifs qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres en écriture décimale. Dans un premier temps cet article présente un algorithme de recherche des nombres de Harshad et établit la liste de ces nombres inférieurs à 1000. Il pose ensuite diverses questions sur la répartition des nombres de Harshad et démontre deux résultats: 1) Il n'y a pas de nombres de Harshad premiers et supérieurs à 7 ; 2) Il n'existe pas 22 nombres de Harshad consécutifs.
    Mots clés: arithmétique, divisibilité, écriture décimale, Harshad, algorithme.
  • Article : Fournées - Collège Georges Pompidou (Cajarc) Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
    On veut faire cuire plusieurs objets avec trois caractéristiques : la taille, la durée de cuisson minimale et la durée de cuisson maximale. Le four a une taille donnée. Plusieurs objets peuvent être cuits au même temps si la somme de leurs tailles ne dépasse pas celle du four et s'il existe un temps de cuisson compris entre les temps de cuisson minimal et maximal de chacun des objets. L'objectif est de déterminer comment cuire tous les objets en un temps d'utilisation du four minimal. Dans ce travail, une solution sous forme d'algorithme est donnée pour deux objets quelconques ; pour plus de deux objets, une méthode partiellement algorithmique est présentée sur un exemple.
    Mots clés: Segments, inégalités, combinatoire, optimisation
  • Article : La roue de vélo - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon), Lycée français Jean Giono (Turin)
    Le problème est le suivant : on souhaite faire rouler un vélo sur une route en dents de scies, quelle forme doivent avoir les roues pour que le passager reste à la même hauteur et voyage à vitesse constante ? Dans un premier temps, l'article étudie la forme de la roue si elle effectue un tour complet en une période de dents de scies et aux problèmes que cette forme engendre. L'une des difficultés est notamment de calculer le périmètre de cette roue. Dans un second temps, l'article s'intéresse à différentes formes et observe ce qu'il se passe lorsque l'on utilise ces roues sur la route en dents de scies ou sur une route plate.
    Mots clés: géométrie, coordonnée polaire, forme, équation paramétrique, roue de vélo, périmètre
  • Article : Les soustractions infernales - Collège de l Evre (Montrevault)
    Les auteurs ont présenté un jeu utilisé en primaire pour apprendre les soustractions aux élèves en utilisant un carré. Ils ont répondu à plusieurs questions autour de ce jeu : est-ce que le jeu s'arrête? Que se passe-t-il si on choisit une autre forme que le carré? Ils ont traité de très nombreux exemples dans le cas du carré grâce au calcul littéral et ont démontré que le jeu ne s'arrêtait pas toujours avec un triangle par exemple.
    Mots clés: soustraction, calcul littéral
  • Article : Le paradoxe de Braess - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
    Article franco-roumain sur le paradoxe de Braess. Les élèves de Cluj ont expliqué le paradoxe, les élèves de Briançon ont proposé deux simulations de comportements d'automobilistes pour voir leur influence sur le trafic. Cet article étudie le temps de parcours des automobilistes quand plusieurs parcours sont possibles pour relier 2 points. En premier lieu, le paradoxe de Braess est explicité sur un exemple : le fait de rajouter une route sur le parcours ne diminue pas forcément le temps de parcours des automobilistes si ceux-ci se comportent de manière égoïste. Ensuite, à l'aide de calculs et de simulations numérique, les auteurs étudient le comportement des automobilistes jour après jour, le choix d'un trajet dépendant des embouteillages de la veille.
    Mots clés: suite, simulation, programmation, paradoxe
  • Article : Constructeur d autoroute et optimisation - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
    Une autoroute, toute droite, doit être construite de manière à passer le plus proche possible de plusieurs villes. Ainsi, la consommation de carburant et les émissions de dioxyde de carbone seront minimisés. De plus, les accès entre les villes et l’autoroute seront construits les plus courts possibles pour réduire encore la pollution. Un premier résultat concerne les accès. L’accès à une ville sera tracé le long de la perpendiculaire à la droite que suit l’autoroute, passant par le point qui représente la ville. Dans le cas de deux villes, l’autoroute est la droite passant par les deux villes. Dans le cas de trois villes, il s’agit de la droite reliant les deux villes les plus éloignées l’une de l’autre. Enfin, dans le cas de quatre villes, le même résultat est validé pour des formes connues (carré, rectangle, losange), mais invalidé dans certains cas où les quatre points sont pris au hasard. Une conjoncture transparait quand même pour tous les cas : l’autoroute passe obligatoirement par deux villes.
    Mots clés: ajustement affine par moindre déviation absolue, projection d’un point sur une droite, géométrie des triangles et des quadrilatères
  • Article : Voir partout - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
    Le but est de déterminer le nombre minimal de caméras à placer dans une zone du plan pour que le champ de vision de ces caméras couvre toute la zone choisie. Dans un premier temps, l'article traite le cas des polygones convexes sur plusieurs exemples et illustre le fait qu'une seule caméra suffit. Ensuite, pour les polygones concaves, plusieurs conjectures sont émises, d'abord sur le lien entre le nombre de côtés du polygone et le nombre minimal de caméras nécessaires, puis sur le lien entre le nombre de sommets et le nombre minimal de caméras. Enfin, on découvre des pistes de recherche sur des exemples quand on rajoute un obstacle circulaire, carré ou rectangulaire dans la zone du plan choisie.
    Mots clés: géométrie dans le plan, polygones, intersection de droites
  • Article : Le jeu de la mode - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
    A quelles conditions une mode peut-elle prendre dans une population donnée ? On suppose ici que le comportement d'un individu donné à un instant donné dépend du comportement de ses voisins : si plus de la moitié de son entourage suis la mode, il se mettra à les imiter. On obtient ainsi un modèle mathématique dynamique de la propagation de la mode au seins d'une population, que l'on suppose répartie sur une grille. Il s'agit alors d'étudier le comportement de ce modèle en fonction des conditions initiales afin de préciser les conditions qui permettent à une mode de perdurer. On exhibe ici, dans quelques cas particuliers, des situations conduisant à un comportement intéressant du modèle.
    Mots clés: combinatoire,  modèle dynamique
  • Article : Stéganographie - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
    Peut-on écrire des mots avec des couleurs ? Peut-on lire des mots dans les couleurs ? On montrera comment le faire avec 2, 3, 4 en utilisant la décomposition des nombres en base 2, 3 ou 4 , en programmant un tableur.
    Mots clés: base 2, tableur
  • Article : Le mancala - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie), Lycée français Jean Giono (Turin)
    Article franco-roumain qui donne des pistes pour étblir une stratégie, programmable sur une machine, pour jouer au jeu du mancala
    Mots clés: jeu, mancala, programmation, stratégie
  • Article : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d Altitude (Briancon)
    Un L système est une grammaire formelle générative et récursive permettant de modéliser le processus d’évolution de certaines espèces animales et végétales. Dans la première partie de cet article, est décrit le choix de L systèmes permettant de modéliser la croissance de feuilles de platane. Les modèles obtenus sont simulés sur Mathematica et les paramètres en sont ajustés sur base de mesures détaillées prises sur des observations réelles. Dans la seconde partie de l’article des L systèmes sont présentés pour décrire l’évolution de la spirale de Fibonacci avec comme application la description de l’évolution d’une fougère.
    Mots clés: L systèmes - modélisation - suites de Fibonacci - nombre d’or
  • Article : La fougère - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d Altitude (Briancon)
    L'article étudie un modèle géométrique de la croissance d'une fougère. Pour modéliser cette croissance, on dispose d'un alphabet de deux lettres : B (bourgeon) et F (tige) ainsi que de deux règles substitutives : B → F[+B][-B]FB et F → FF. Autrement dit, un bourgeon (B) devient une tige (F) avec un bourgeon à gauche ([+B]) et un bourgeon à droite ([-B]) et encore une tige (F) avec un bourgeon à l'extrémité (B). Une tige (F) deviendra une double tige (FF). Les auteurs souhaitent calculer les éléments de la suite Fn donnant le nombre de F après n itérations, de la suite Bn donnant le nombre de B après n itérations et de la suite Ln donnant la hauteur de la fougère, c'est-à-dire le nombre de F sur la tige centrale.Ils obtiennent les formules donnant Bn, Ln, et Fn. Les auteurs obtiennent également de façon analogue des formules équivalentes pour un nouveau modèle où les règles précédentes sont remplacées par : B → G[+B][-B]GB et G → FG où la nouvelle lettre G permet de limiter la croissance de la fougère. Enfin une généralisation de ces 2 modèles et des formules associées est donnée ainsi qu'un programme en C++ permettant de calculer le résultat des différentes itérations des règles données
    Mots clés: L-système, suite, alphabet, récurrence, programmation
  • Article : La numération des Shadoks - Lycée Bichat (Luneville)
    Les Shadoks sont des êtres qui ressemblent à des oiseaux. Un beau jour, ils ont besoin de se compter, seulement ils ne connaissent que quatre mots : GA, BU, ZO et MEU. Les Shadoks apprennent à compter. Seulement, au lieu de compter avec les dix chiffres habituels (0, 1, ..., 9), ils doivent en utiliser seulement quatre (GA, BU, ZU et MEU). Dans cet article, les auteurs revoient les opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) pour ces quatre chiffres, ainsi que l’écriture des nombres décimaux. Ils étudient également la correspondance entre les nombres écrits avec ces chiffres (base 4) et ceux écrits avec les chiffres habituels (base 10). Enfin, la correspondance avec les chiffres du système bibi-binaire (base 16) est abordée.
    Mots clés: système de numération, numération, arithmétique, base, changement de base, nombre décimal
  • Diaporama : trajectoire sur un circuit - Lycée Pasquet (Arles)
    A partir d'une photographie aerienne, on veut « reconstruire » un circuit automobile, afin de pouvoir calculer les vitesses, accélérations et rayons de virages. On cherche donc à approximer le tracer du circuit par un certain nombre de courbes. Les premières courbes étudiées sont les droites (équations cartésiennes puis paramétriques), puis les graphes de fonctions polynômes. Dans ce cas, on donne une estimation de la vitesse, et on en fait une représentation graphique. Ensuite, on envisage d'utiliser des ellipses, puis on utilise des courbes d'interpolations de Catmull-Rom puis de Kochanek-Bartels.
    Mots clés: interpolation, splines, vitesse, courbes paramétrées
  • Article : Détection de contours - Lycée Pasquet (Arles)
    images numériques, paramètres statistiques utilisés pour détecter les contours dans une image.
    Mots clés: images, couleur, filtre, médiane, variance, seuil, contours
  • Article : Le téléphone magique - Collège de l Evre (Montrevault) Collège Aristide Briand (Nantes)
    Cet article présente l'unicité du résultat obtenu en sommant les valeurs des touches (une et une seule par ligne et par colonne) d'un clavier nxn. Pour n<6, en dénombrant les possibilités puis en fournissant une liste exhaustive de ces possibilités. Dans un second temps, pour tout nombre entier n, en utilisant une variable et les propriétés du clavier.
    Mots clés: dénombrement
  • Article : Nombre d or et nature - Collège de la Côte Roannaise (Renaison)
    Cet article est une présentation du nombre d'or et de ses nombreuses « apparitions » dans la nature (fleurs, mollusques, êtres humains), avec également un coup d'oeil sur la suite de Fibonacci. Et on vérifie, grâce à des mesures sur les personnes qui fréquentent nos deux collèges jumelés, que les habitants du département de la Loire ont un rapport « nombrilesque » avec le nombre d'or.
    Mots clés: nombre d'or, suite de Fibonacci, statistique
  • Article : Des multiplications à la ronde - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
    On choisit deux entiers a et b positifs et inférieurs à 10. On considère la suite des entiers {a, b, ab, b fois ab, .......} où chaque entier de la suite est le produit des deux entiers qui le précèdent. On écrit alors la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les entiers de cette suite. Pour différents entiers a et b choisis au départ, on a trouvé que ces suites de chiffres des unités forment des farandoles d'un même chiffre ou se terminent en rondes, puis on a montré pourquoi. Cet article porte sur l'étude d'une suite particulière qui fait intervenir des notions abordables dès le collège et qui est construite de la manière suivante. Etant donnés a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 10, on considère la liste de nombres {a,b,ab,b(ab),..} où chaque élément est le produit des deux entiers qui le précèdent. La suite considérée est la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les nombres de cette liste. Dans un premier temps, une réduction du problème est apportée en montrant qu'il suffit d'étudier le produit des chiffres des unités du produit des deux entiers constituant chaque terme de la suite. Ensuite, des résultats sont énoncés sous forme de disjonction de cas selon la nature de a et b. D'une part, ils montrent que des choix particuliers de a et b conduisent à une suite stationnaire qu'ils appellent « farandoles ». D'autre part, selon la parité de a et b, ils montrent que certaines suites obtenues sont soit périodiques et sont appelées « rondes », soit périodiques à partir d'un certain rang et sont appelées « soleils ». Plus précisément, le caractère périodique de ces « rondes » et « soleils » est expliqué au travers d'exemples et ceci en étudiant le produit de puissances de deux entiers. Finalement, 81 suites possibles sont dénombrées dans cet article et catégorisées de la manière suivante : 21 farandoles, 30 rondes et 30 soleils.
    Mots clés: produit, division euclidienne, puissance, période, parité, suite de Fibonacci, suite, périodicité, entiers naturels, arithmétique
  • Article : Découpage de polygones de même aire - Collège Saint Dominique (Nancy)
    Démarche pour tenter de justifier que ce découpage est possible suivie de deux exemples. Étant donnés deux polygones de même aire, est-il toujours possible de découper l’un des polygones en morceaux et de reconstituer l’autre polygone en recollant les morceaux ? Les élèves apportent dans cet article une réponse positive à cette question en donnant une méthode qui permet de réaliser un tel découpage, que les polygones soient convexes ou non.
    Mots clés: polygone, aire, découpage
  • Article : polyedres réguliers - Collège Saint Dominique (Nancy)
    Recherche méthodique et justifiée de tous les polyèdres réguliers. Cet article étudie les polyèdres réguliers. Le principal résultat est d'établir que le nombre de polyèdres réguliers est fini, et il en existe exactement 5. Leur construction est explicite (et réalisée « en vrai » à l'aide de papier, et avec l'ordinateur via le logiciel Geogebra), et la démonstration du résultat repose sur des arguments d'angle aux sommets des faces du polyèdre. La construction tout comme la démonstration utilisent la notion de patron, figure plane permettant (par pliage) de construire le polyèdre dans l'espace.
    Mots clés: polyèdre régulier, géométrie plane, convexité, polygone régulier, géométrie dans l'espace
  • Article : Problème des croustillons - Centre scolaire Saint-Benoît Saint-Servais (Liège)
    Sur la foire de Liège, est-il possible d’acheter 55 croustillons sachant qu’il n’existe que des paquets de 14 et 9 croustillons ? Oui, avec 2 paquets de 14 et 3 paquets de 9. De même, est-il possible d’en acheter 48 ou 75 ? Ou tout autre nombre ? Dans cet exposé, nous répondrons à cette question et généraliserons le problème à a et b croustillons par sachet. Nous avons trouvé que a et b doivent être premiers entre eux pour qu’il existe un seuil à partir duquel tous les nombres de croustillons sont possibles. Nous avons calculé le nombre de commandes impossibles et le nombre de façons de satisfaire la commande.
    Mots clés: arithmétique, générateur, semigroupe
  • Article : Mathématiques et relations amoureuses - Collège de la Côte Roannaise (Renaison)
    Cet article présente des modèles qui permettent d'étudier les relations amoureuses dans les couples et de « prévoir » l'avenir des couples (rupture, longévité …). Les situations de couples qui sont étudiées sont tirées de deux films (La femme d'à côté, de F. Truffaut, et Quelques jours avec moi de C. Sautet). En conclusion, les tests proposés et appliqués à ces scènes ne permettent de « prévoir » la fin de ces film.
    Mots clés: modèle statistique, relations, probabilités
  • Article : Mathématiques et épidémies - Collège de la Côte Roannaise (Renaison) Collège les Etines (Le Coteau)
    Cet article présente des modèles qui permettent d'étudier la diffusion de maladies (rougeole et Ebola) en les confrontant à des données réelles ou à des hypothèses qu'on peut faire sur les taux de contamination par des malades dans une population donnée.
    Mots clés: modèle statistique, épidémiologie, probabilités
  • Article : Dessine moi une arrête - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
    Les auteurs introduisent un jeu géométrique pour 2 joueurs, basé sur le tracé de points et de traits. Dans un premier temps, différents résultats sur la durée d'une partie sont démontrés. Dans un second temps, des exemples de stratégies gagnantes sont donnés.
    Mots clés: jeu, jeu combinatoire, stratégie gagnante, graphe, degré
  • Article : Jouer avec les bougies - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
    Les élèves ont rédigé un article scientifique résumant leurs recherches, en veillant à énoncer leurs résultats sous la forme de théorèmes (démontrés) ou de conjectures (non démontrées). Un joueur cherche à éteindre des bougies sur un graphe. Les bougies sont reliées les unes aux autres selon différentes structures et sont au départ toutes allumées. Chaque fois que le joueur souffle sur une bougie, celle-ci et ses voisines changent d'état. Les bougies allumées s'éteignent et les bougies éteintes se rallument. Le but du joueur est d'éteindre toutes les bougies en soufflant un minimum de fois. Le jeu est plus ou moins difficile selon le nombre de bougies et la façon dont celles-ci sont reliées entres elles. Cet article étudie différentes structures de graphes de bougies : les bougies peuvent former une ligne, un collier, un rectangle,... Selon le cas, l'article prouve l'optimalité de la stratégie proposée ou conjecture sa réussite en un petit nombre de coups.
    Mots clés: théorie des graphes Voir aussi : http://www.mathenjeans.fr/content/article-eteindre-les-lumieres-lycee-montaigne-...
  • Article : Surveillance high-tech - Collège Raoul Dufy (Lyon) Collège Longchambon (Lyon)
    Un CPE souhaite installer des détecteurs sonores dans des salles de son collège, de manière optimale : il souhaite utiliser le moins de détecteurs possibles, tout en ayant une information exacte concernant la provenance d'un bruit éventuel. Les élèves proposent une solution (conjecturée) dans le cas de salles disposées en ligne. Ensuite, les élèves s'intéressent au nombre maximal de salles pouvant être équipées, à partir d'un nombre de capteurs donnés. Une solution est apportée et démontrée, par deux méthodes différentes.
    Mots clés: placement de capteurs, optimisation, combinaison, graphe
  • Article : Partage d’un gâteau - Collège Raoul Dufy (Lyon) Collège Longchambon (Lyon)
    Un cake est divisé en plusieurs parts inégales. Si deux personnes se servent l'une après l'autre par les extrêmités du cake jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus, à la fin qui aura le plus de gâteau ? Dans le cas d'un nombre pair de parts, l'article propose une stratégie qui permet au premier servi de toujours gagner. Dans le cas d'un nombre impair de parts, c'est une stratégie pour le deuxième joueur que l'article propose, qui lui permet d'optimiser ses chances de gagner, mais ne lui assure pas la victoire à tous les coups: sa réussite dépendra du premier tirage du premier joueur.
    Mots clés: stratégie de jeux, mathématiques discrètes
  • Article : Nombre d’occurrences de triangles dans mosaiques. - Lycée Vaclav Havel (Bègles) Lycée Kastler (Talence)
    Prenons un grand carré formé de n*n petits carrés. Combien de rectangles (formés de petits carrés) peut-on compter dans ce grand carré ? C'est à cette question qu'on répondu les éléves des lycées Alfred Kastler (Talence) et Vaclav Havel (Bègles), en utilisant une méthode de comptage par récurrence.
    Mots clés: combinatoire, méthode de récurrence
  • Article : Triangles équilibrés - Collège Alain Fournier (Orsay)
    On regarde un triangle constitué de signes + et -, construit de la façon suivante. Sur la première ligne, on écrit un certain nombre n de signes. On dit que n est la taille du triangle. La ligne suivante est obtenue en plaçant sous chaque paire de signes leur produit. Le triangle est entièrement construit quand on arrive à une ligne d'un seul signe. On dit que le triangle est équilibré s'il comporte autant de signes + que de signes -. Pour quelles valeurs de n existe-t-il un triangle équilibré de taille n ?
    Mots clés: triangle equilibre, combinatoire
  • Article : Les sept figures magiques - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Une figure magique est une figure géométrique qui comporte des cases à remplir, assortie de règles. - S'il y a n cases, elles seront remplies avec les nombres de 1 à n. - La somme des nombres placés sur les mêmes lignes devront toujours être les mêmes. Fabriquer des figures magiques.
    Mots clés: figure magique, carré magique, combinatoire
  • Article : Echiquier égalitaire de Hadamard - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Un échiquier est dit égalitaire lorsque : si on prend deux lignes quelconques le nombre de colonnes dont les deux cases sont de la même couleur est égal au nombre de colonnes dont les deux cases sont de couleurs différentes. Peut-on trouver des échiquiers égalitaires ? Combien de cases auront-ils ?
    Mots clés: échiquier, matrice de Hadamard, combinatoire
  • Article : Arbres gracieux - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Un arbre à n arêtes est gracieux si l'on peut étiqueter ses sommets de 0 à n sans doublon, ses arêtes de 1 à n sans doublon, et de telle sorte que la valeur d'une arête soit la différence (en valeur absolue) des valeurs des sommets situés à ses extrémités. Une conjecture encore ouverte aujourd'hui est que tout arbre est gracieux. Ici, les élèves explorent la validité de cette conjecture sur les étoiles, les chemins et les chenilles, où des algorithmes de coloration gracieuse sont exhibés. Le cas des homards et des araignées est également considéré, mais aucun algorithme générique n'est proposé pour ces familles de graphes.
    Mots clés: arbre, coloration, algorithme
  • Article : Le chemin le plus court - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Dans cet article, les auteurs s’intéressent à trouver un « réseau routier » reliant des points donnés à l’avance, qui soit de longueur totale minimale. Les deux cas traités sont le cas où les points sont les sommets d’un carré, ou d’un triangle équilatéral. Plusieurs types de réseaux sont envisagés : des réseaux constitués de segments reliant les points originaux, ou des réseaux un peu plus complexes faisant intervenir un ou des points intermédiaires à l’intérieur du carré (ou du triangle). Les distances totales de chaque réseau sont exprimées à l’aide du théorème de Pythagore.
    Mots clés: géométrie, triangle, longueur, optimisation, approximation, reseau routier
  • Article : Compter les coloriages - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
    Cet article s'intéresse aux coloriages des cotés d'un polygone régulier convexe avec un nombre fixé de couleurs. Deux coloriages sont considérés comme identiques, si nous pouvons passer de l'un à l'autre par une rotation du polygone colorié. La question est alors de dénombrer le nombre de coloriages différents en fonction de c, le nombre de couleurs, et de n, le nombre de cotés. Un algorithme permettant de calculer cette valeur pour c et n quelconques est donné. Deux formules explicites sont obtenues : pour c=2 et n premier, et pour c=n. Une méthode de calcul alternative est également exposée pour c=2 et n quelconque.
    Mots clés: coloriage, dénombrement, polygone régulier
  • Article : C est pas du gâteau - Collège de Marciac (Marciac)
    Cette étude permet d'établir une formule fournissant le nombre maximal de parts que l'on peut obtenir en découpant un gâteau en fonction du nombre de coupes que l'on effectue.
    Mots clés: fonction, combinatoire, droites, découpage
  • Article : Une Blanche Neige gourmande et futée - Collège de Marciac (Marciac) Collège-Lycée Pierre Mendès-France (Vic en Bigorre)
    Une Blanche-Neige moderne troque sa pomme empoisonnée contre une plaque de chocolat dont le carré en haut à gauche est empoisonné. Elle et sa belle-mère mangent à tour de rôle selon la règle suivante : lorsqu'un carré est mangé, tous ceux en bas à droite sont éliminés. Blanche-Neige, étant la plus jeune, se propose de commencer. On verra pour quelques formes de tablettes (carrées, ou rectangulaires 2xn) la stratégie que peut utiliser Blanche Neige pour gagner.
    Mots clés: théorie des jeux, jeu combinatoire, stratégie gagnante
  • Article : Le Cochon qui rit - Collège de Marciac (Marciac) Collège-Lycée Pierre Mendès-France (Vic en Bigorre)
    Une analyse du jeu de dés « Le cochon qui rit » aux travers de plusieurs questions qui touchent aux probabilités d’apparition de tel ou tel cas de figure.
    Mots clés: probabilité, statistique, analyse de cas, jeu
  • Article : atchoum ou blabla - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie), Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
    Ce sujet traite de la contamination d'une maladie dans une population d'une taille donnée. Il propose une modélisation du problème et un algorithme qui permet de visualiser cettte évolution. Une modélisation par une suite complète cette recherche. Cet article étudie la propagation de maladie au sein d'une population. Dans le modèle considéré, la maladie se transmet à chaque rencontre entre une personne saine et une personne malade. Au bout de combien de temps la totalité de la population est-elle contaminée ?
    Mots clés: suite, modélisation, algorithme, propagation de maladie, probabilité
  • Article : Question de vie ou de mort : Automate cellulaire - Collège Saint Pierre (Plouha)
    On considère un système évolutif constitué par des cellules sur un quadrillage régies par deux règles : une cellule vivante à l'étape n est morte à l'étape n + 1 et une cellule morte à l'étape n devient vivante à l'étape n + 1 si elle est entourée d'un nombre impair de cellules vivantes. Le but est de trouver tous les quadrillages permettant de trouver une configuration vivant éternellement. La réponse complète est énoncée.
    Mots clés: combinatoire, système évolutif, automate cellulaire
  • Article : Séries de Farey : à vos places, les fractions ! - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)
    Les fractions de Farey d’ordre D sont des fractions comprises entre 0 et 1 dont le dénominateur n’excède pas D et dont le numérateur est inférieur au dénominateur. La question est comment placer les fractions de dénominateur D+1 sur le segment [0, 1] sur lequel on a déjà placé les fractions de Farey d’ordre D. Le texte propose deux conjectures ainsi qu’un résultat montrant que si la première conjecture est vraie, alors la deuxième conjecture est forcement vraie. La première conjecture stipule que la différence entre deux fractions de Farey consécutives a comme dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions et comme numérateur 1. La deuxième conjecture affirme que lorsqu’une fraction de Farey s’insère entre deux autres, alors son numérateur est la somme des numérateurs des deux fractions déjà placées et pareillement pour les dénominateurs.
    Mots clés: suite de fractions
  • Article : triangles carrés - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
    Dans cet article, les élèves s'intéressent à un jeu consistant à disposer un ensemble de jetons de façon à former un carré ou un triangle équilatéral. Ils cherchent plus précisément à déterminer l'ensemble des nombres entiers n telles que ces deux configurations peuvent être obtenues à partir de n jetons. Après avoir déterminé à la main les solutions correspondant à un petit nombre de jetons, les élèves remarquent que le problème revient à déterminer l'ensemble des nombres entiers qui peuvent s'écrire à la fois comme le carré d'un entier, et comme la somme des premiers entiers,de 1 jusqu'à un certain entier y : 1+2+: : : :y = y(y + 1)2 . Ils font ensuite le compte-rendu de deux méthodes qui s'avèrent finalement perfectibles : une méthode graphique et une méthode numérique efficace mais non exacte. Un algorithme leur permet ensuite de poursuivre informatiquement leur étude. Enfin, les élèves se consacrent à une étude plus mathématique du problème, en introduisant une conjecture permettant de construire une suite de nombres qui sont solutions du problème. Cette conjecture est ensuite démontrée.
    Mots clés: arithmétique, suite numérique
  • Article : Le berger et ses moutons - Lycée Bellevue (Toulouse)
    Un berger a une corde de 300m et trois piquets. Comment doit-il placer ses piquets pour maximiser l'aire du champ pour ses moutons ? On montre par des méthodes analytiques et géométriques que le triangle d'aire maximale pour un périmètre donné est équilatéral. Les résultats sont notamment étendus aux quadrilatères d'aire maximale et aux polygones ayant un nombre pair de côtés.
    Mots clés: aire, périmètre, optimisation, géométrie, inégalité isopérimétrique, triangle
  • Article : Les calendriers - Lycée Saint Paul (Roanne) Lycée Jean Puy (Roanne)
    Les concepteurs des calendriers ont cherché à décrire le temps en utilisant 3 durées particulièrement frappantes : la durée du jour ,la durée d’un cycle des saisons (l’année), l’intervalle entre deux nouvelles lunes (environ 1 mois) . Ainsi tous les calendriers font apparaître des cycles plus ou moins longs. Est-il possible de faire apparaître des cycles plus courts, tout en ayant des calendriers précis ? Les calendriers ont été inventés comme un moyen de se repérer dans le temps à long terme, sur la base de durées naturelles telles que celle du jour ou du cycle des saisons. Cette dernière, aussi appelée année tropique, n'est cependant pas divisible en un nombre entier de jours, ce qui fait qu'aucune année calendaire n'y est strictement égale. Afin d'éviter qu'un décalage trop important s'installe au sein d'un calendrier, une solution est d'introduire périodiquement des années de 366 jours compensant le fait que l'année calendaire de 365 jours est plus courte que l'année tropique. Les différents calendriers proposés au cours de l'histoire font ainsi intervenir des cycles de longueurs différentes, certains pouvant être très longs. Il est cependant montré ici qu'il est possible de trouver de meilleurs compromis entre précision et longueur de cycle que ceux réalisés dans les calendriers courants. Il est également expliquer comment obtenir des cycles induisant une précision arbitraire à l'aide de fractions continues.
    Mots clés: fraction continue, cycle, calendrier, approximation, algorithme, suite
  • Article : Lever un crayon - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
    Est-il possible de dessiner un graphe donné sans lever le crayon ? Si non, peut-on estimer le nombre de coups de crayon nécessaires. L'article établit un critère répondant à la première question, et calcul dans le cas général le nombre minimum de coups de crayon.
    Mots clés: graphe, chemin eulérien
  • Article : Conseil de classes et affectations - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
    Cet article s'intéresse à deux problèmes de « couplages sous contraintes ». Le premier concerne la constitution d'une liste de représentants des élèves dans un lycée, sous des contraintes d'affinités et avec la contrainte supplémentaire que chaque classe doit être représentée par un élève. Le second problème concerne l'affectation des élèves dans les universités après le baccalauréat, en respectant au mieux les vœux des élèves et les classements des universités. Mots-clés : Couplages, arbres de choix, tableaux à double entrée, boîtes enchâssées, graphes.
    Mots clés: couplages, arbres de choix, tableau à double entrée, boîtes enchâssées, graphes.
  • Article : Dobble - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
    Un jeu de Dobble est un jeu de cartes. Chaque carte est composée de n symboles avec la contrainte suivante : deux cartes quelconques doivent toujours avoir un unique symbole en commun. Le nombre n de symboles par carte étant fixé, combien de cartes le jeu peut-il contenir, avec combien de symboles en tout dans le jeu et comment construire les cartes ? Les élèves répondent à toutes ces questions et montrent que si l'on exclut le cas où c'est toujours le même symbole qui est commun à toutes les cartes, le nombre maximum de cartes dans le jeu est n(n-1)+1, ainsi que le nombre de symboles utilisés. Ils donnent de plus une méthode géométrique de construction des cartes.
    Mots clés: dénombrement
  • Article : Alignement de dominos - Lycée Grandmont (Tours)
    Le jeu traditionnel de dominos est composé de telle sorte que toutes les pairs possibles d'entiers de 0 à 6 sont présentes une et uen seule fois. Si on suppose qu'au lieu de 6, toutes les paires possibles d'entiers ente 0 et n (n≥1) sont présentes, alors -combien y a t il de dominos dans le jeu ? -est-il possible d'aligner tous les dominos du jeu en appliquant la règle ?
    Mots clés: dominos, dénombrement, graphe, graphe eulérien
  • Article : Eléphant et les bananes - Collège Joliot Curie (Fontenilles) Collège Cantelauze (Fonsorbe), Collège Victor Hugo (Colomiers)
    Un élèphant doit apporter au marché, distant de 1000 km, la production d'un marchand (3000 bananes). L'éléphant mange 1 banane au km et porte 1000 bananes au maximum sur son dos.Combien de bananes va-t-il amener au marché ?
    Mots clés: transport, optimisation
  • Article : Les nombres magiques - Collège Joliot Curie (Fontenilles) Collège Cantelauze (Fonsorbe), Collège Victor Hugo (Colomiers)
    La pyramide des nombres magiques ... Les égalités de la pyramide sont-elles vraies ?
    Mots clés: pyramide, nombre magique, somme d'entiers, arithmétique
  • Article : Croissance des arbres - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
    Travaux effectués par les élèves de Briançon et de Cluj (Roumanie) sur la modélisation de la croissance des arbres. Ils ont obtenu de beaux résultats sur les âges (des arbres) d'un point de vu expérimentale et d'un point de vu théorique.
    Mots clés: modélisation, arbre, probabilité, simulation, algorithme, matrice d'évolution
  • Article : Eteindre les lumières - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
    Article donnant la résolution complète du sujet posé. La partie démonstration a été complétée par les enseignants et le chercheur mais en respectant le texte initial et l'idée de la démonstration des élèves donnée à l'oral. A noter la traduction en chinois du sujet: plusieurs élèves du groupe étudient cette langue et ont passé une année scolaire en Chine.
    Mots clés: graphe, système linéaire, binaire, matrice
  • Article : Le monde tropical et les amibes - Lycée Odilon Redon (Pauillac)
    en changeant les règles du jeu, et en remplaçant l'addition par la prise du maximum, ainsi que la multiplication par … l'addition quel nouveau monde est il ainsi créer ? C'est le « monde tropical ». Que devient alors la géométrie dans ce monde ? Que deviennent les droites ? Dans le plan, dans l'espace ? Et pour des équations de degré supérieur à 2, qu'est ce qu'on obtient pour représentation graphique ?
    Mots clés: Géométrie tropicale
  • Article : Il n en restera qu un - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
    Cet article étudie le jeu du solitaire, d'abord sur une ligne et ensuite dans le plan. Il cherche à décrire les situations de départ, qui permettent d'arriver à une situation ne contenant plus qu'un pion.
    Mots clés: jeu, solitaire
  • Article : Les tas de sable, cas général - Lycée d Altitude (Briancon)
    Les auteurs étudient des tas de sables posés sur des surfaces planes de formes géométriques imposées. Il décrivent la nature des lignes de crête dans le cas où la surface de base est la réunion de deux carrés collés ensemble, et dans le cas où la surface est délimitée par deux arcs de cercle. Les formes géométriques qui apparaissent sont des coniques : paraboles, ellipses et hyperboles. Cet article est la suite d'un article de même nom, publié en 2012/2013.
    Mots clés: tas de sable, ligne de crête, ensemble des points à égale distance, parabole, hyperbole, ellipse Voir aussi : http://www.lyc-altitude.ac-aix-marseille.fr/spip/IMG/pdf/2014-Tas_de_sable-MeJ-B...
  • Article : La vengeance de la cigale - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
    Une cigale se propose de trouver la pire manière d'attacher un tableau au mur avec deux clous, en utilisant une ficelle. Plus exactement, la cigale veut que le tableau reste attaché au mur si les deux clous sont à leur place mais que dès qu'un des clous tombe, peu importe lequel, alors le tableau tombe aussi. La question est : combien des possibilités a la cigale ? Est-qu'il y a des possibilités si on augmente le nombre de clous ?
    Mots clés: séquence de lettres, permutation
  • Article : La Fourmi invite ses amis - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
    La Fourmi et ses amies jouent au lancers de grains. Elles doivent être placées de sorte que toutes les distances entre elles soient différentes. De plus, chaque fourmi doit lancer son grain à la fourmi la plus proche. Toutes les fourmis reçoivent-elles un grain ? Y aura-t-il toujours un échange de grain entre deux fourmis ? Peut-on avoir des trajectoires croisées ? Est-il possible que l'hôte reçoive tous les grains sauf le sien ? Des fourmis, toutes placées à des distances différentes les unes des autres, lancent le grain qui est initialement en leur possession à leur plus proche voisine. La manière dont les grains sont envoyés est l'objet de cette étude faisant ressortir quatre résultats principaux. L'existence de configurations où toutes les fourmis reçoivent un grain est démontrée pour un nombre de fourmis pair. Dans le cas impair, les auteurs conjecturent qu'au moins une fourmi ne reçoit pas de grain. En second lieu, ils prouvent qu'au moins deux fourmis échangent leurs grains. Le fait qu'une seule fourmi puisse emmagaziner tous les grains sauf le sien est la troisième question posée. Une telle configuration à 6 fourmis est présentée. Les auteurs conjecturent que le maximum est atteint pour 6 fourmis. Enfin, ils démontrent que tout croisement de trajectoires de lancer est impossible.
    Mots clés: distance, géométrie
  • Article : La Fourmi fait du rangement - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
    Partie 1 : La Fourmi veut ranger ses grains de riz en les mettant en colonnes ou en lignes. Quel est le nombre de rangements possibles ? Partie 2 : La Fourmi souhaite ranger ses grains pour obtenir un carré magique. Comment l'obtenir ? Dans cet article, les auteurs proposent d'aider la Fourmi de la fable de Jean de la Fontaine à ranger ses grains qu'elle avait amassé tout l'été. Pour ce faire, ils conjecturent que le nombre de façons de faire son rangement en ligne de telle sorte que que chaque ligne ait le même nombre de grains est un diviseur du nombre de grains. Ce dénombrement est également explicité lorsqu'il n'y a que deux dispositions possibles. Mais la Fourmi a retrouvé dans son grenier une autre possibilité de rangement : le carré magique. Ainsi, tous les carrés magiques d'ordre 3 et 4 sont précisés et une démonstration générale est proposée pour trouver le nombre de carrés magiques d'ordre n quelconque en fonction de celui-ci.
    Mots clés: diviseur d'un nombre, carré magique
  • Article : Massacre en cercle - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
    Article Un certain nombre m de gobelins décident de s'entre-tuer de la manière suivante : ils se placent en cercle et comptent jusqu'à un nombre n inférieur à m, celui qui dit n est tué, et le décompte reprend à partir de 1 le long du cercle. Le prochain qui prononce n est tué, etc. Le but est de trouver où sont placés les survivants. Les cas n=2 et n=3 sont traités. Dans le cas n=2, une formule explicite pour la place du survivant parmi m gobelins est introduite, en utilisant le raisonnement par récurrence puis l'écriture en binaire. Pour le cas n=3, on voit apparaître une relation de récurrence entre la place des deux survivants parmi m gobelins et la place des deux survivants parmi m+1 gobelins.
    Mots clés: dénombrement, principe de récurrence, écriture en binaire.
  • Article : C est du billard! - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
    Cet article traite des trajectoires rectilignes d’une boule soumise à un ou plusieurs rebonds successifs le long des bandes d’un billard. Après s’être intéressés à la construction de la trajectoire de la boule de billard, les auteurs ont émis des conjectures et des pistes de démonstration concernant la délimitation des zones atteignables ou non par cette boule après un ou plusieurs rebonds.
    Mots clés: billard, rebond, réflexion, trajectoire, domaine, frontière
  • Article : Périmètre borné et aire constante - Lycée Saint Joseph (Bressuire) Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
    Est-il possible de construire une figure d'aire finie et de périmètre infini ? En particulier, peut-on modifier une figure pour augmenter son périmètre sans changer son aire ?
    Mots clés: géométrie, fractale
  • Article : Jeu du chat et de la souris - Lycée Français (Berlin)
    Une souris et un chat se déplacent sur les cases d'un échiquier. La chat va-t-il arriver à manger la souris ? Combien de tours la souris peut-elle espérer survivre ? Dans cet article, les auteurs utilisent des outils probabilistiques pour répondre à ces questions dans le cas d'un échiquer de dimension 2x2. Dans les différentes configurations considérées (différentes situations initiales, chat immobile ou non, utilisation d'une stratégie par le chat et/ou la souris, …), la souris n'a malheusement pratiquement aucune chance de s'en sortir … ou heureusement, selon le point de vue.
    Mots clés: probabilité, espérance, limite, démonstration par récurrence
  • Article : Le jeu de set : être sûr de gagner - Lycée Bichat (Luneville)
    L'article traite du jeu de SET. Le jeu est constitué de 81 cartes toutes différentes qui se distinguent selon 4 caractéristiques : le nombre (1, 2 ou 3) d'objets identiques (losange, ovale, vague) d'une même couleur (rouge, vert ou violet) avec un même remplissage (vide, hachuré ou plein). Un SET est un ensemble de trois cartes qui, pour chaque critère, sont soit toutes différentes, soit toutes identiques. Le but du jeu est de trouver le plus grand nombre de set. Les élèves répondent aux questions suivantes dans cet article. Pour deux cartes définies, y a-t-il toujours une et une seule carte qui complète le SET ? Combien y a-t-il de sets possibles au jeu de SET ?
    Mots clés: jeu, dénombrement, jeu de Set, permutation, combinaison
  • Article : Multiplier sur vos doigts - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
    Tout le monde connaît bien ses tables d'addition (j'espere !), et aussi ses tables de multiplication (j'espère aussi !) bien qu'elles soient réputées plus difficiles a apprendre ! Savez-vous multiplier jusqu'à dix en ne connaissant que vos tables de multiplication jus- qu'a cinq, celle par dix, et en n'utilisant que vos doigts ? Il est montré comment on peut se servir de nos doigts pour multiplier . Si on veut multiplier a par b tels que a et b sont compris entre 5 et 10, il suffit de connaître ses tables de multiplications jusqu'à 5 et la multiplication par 10, et de se servir de ses doigts. La technique est étendue pour des chiffres compris entre 5k et 10k pour différentes valeurs de k. Mais il faut alors de plus grandes mains !
    Mots clés: compter, doigt, nombre, multiplication, calcul mental
  • Article : Pont de Kaplas - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
    Comment empiler des Kaplas sur le bord d'une table de manière à ce qu'ils dépassent le bord de la table le plus possible ? ... On s’intéresse ici à la construction d'un pont de Kaplas, qui sont des parallélépipèdes rectangulaires en bois d'une longueur de 12cm, et de faible épaisseur. Il s'agit de les empiler sur le rebord d'une table, afin de s'écarter de celle-ci le plus possible. Dans un premier temps, plusieurs configurations avec 3 Kaplas sont testées, ce qui conduit les auteurs à se limiter à un certain type d'empilement jugé optimal, dans lequel un seul Kaplas par niveau est autorisé. Ensuite, à partir d'expériences impliquant un petit nombre de Kaplas, une loi générale donnant la distance maximale atteignable avec un nombre de Kaplas donné est proposée. Cette loi est vérifiée expérimentalement pour des ponts comportant jusqu'à 8 étages. Grâce à un tableur, une conjecture est faite sur la taille maximale de ponts composés de 20 Kaplas au plus.
    Mots clés: Kapla, pont, construction, empilement, surplomb, centre de gravité
  • Article : Partage de boissons - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
    Trois cruches d'eau ont une contenance respective de trois, cinq et huit litres. Celle de huit litres est remplie d'eau et les deux autres sont vides. Comment obtenir une quantité de quatre litres en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ? ... L'article propose une méthode pour régler le problème suivant : comment obtenir une quantité de 4L d'eau lorsqu'on possède une cruche de 8L remplie, et deux cruches vides respectivement de 5L et 3L, uniquement en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ? Les auteurs proposent une méthode pour coder toutes les versement possibles et déterminer tous les chemins possibles pour obtenir les 4L d'eau.
    Mots clés: partage, entier, transvasement, dénombrement, optimisation
  • Article : Le jeu du Colonel Blotto - Lycée Pierre Mendes-France (Epinal) Lycée Louis Lapicque (Epinal)
    Le jeu du Colonel Blotto est un jeu qui se joue à deux. Il se déroule sur 3 terrains. Chaque joueur dispose d’une armée de 12 soldats qu’il faut répartir sur trois terrains en suivant ces règles : le nombre de soldats placés sur le terrain A doit être supérieur ou égal au nombre de soldats placés sur le terrain B, et le nombre de soldats sur le terrain B doit être supérieur ou égal à celui du terrain C. Sur chacun des terrains, les soldats de chaque joueur s’affrontent et gagnent à chaque fois qu’ils sont en supériorité numérique. Lorsque les deux joueurs ont placé leurs soldats, il peut se produire l'un des deux cas de figure suivant : ou bien l'un des deux joueurs remporte au moins deux victoires, celui-ci est le gagnant et son adversaire est le perdant, ou bien les deux joueurs ont une victoire, une défaite et une égalité, ou encore trois égalités, ce qui compte pour un match nul. Y a-t-il une stratégie pour gagner ? Y a-t-il une stratégie pour ne pas perdre à long terme ? Que se passe-t-il dans le cas de 9 ou 10 soldats ? Ce travail montre qu'il n'y a de coup gagnant. En revanche, une combinaison de trois coups joués aléatoirement permet de ne pas perdre à long terme. La situation est la même pour 10 soldats. En revanche, avec 9 soldats, il existe un coup qui permet de ne pas être battu.
    Mots clés: théorie des jeux, jeu séquentiel fini
  • Article : Suite de Pile ou Face - Lycée Grandmont (Tours)
    On lance une pièce bien équilibrée jusqu’à ce que le nombre de piles deviennent plus grand que le nombre de faces. Dans l’article est calculée la probabilité que cet événement se réalise au n-ième lancer, puis le lien est fait avec les nombres de Catalan.
    Mots clés: probabilité, arbre, dénombrement, nombre de Catalan
  • Article : Quelle aire est il ? - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
    Comment calculer l'aire d'une surface pour laquelle on ne connait pas de formule, par exemple un lac ? Les auteurs proposent et comparent plusieurs méthodes : remplir la surface de carrés et de triangles; une méthode probabiliste; et remplir la surface de rectangles très fins.
    Mots clés: aire, approximation, monte-carlo, encadrement, calcul approché d'une intégrale
  • Article : Du chemin le plus court au chemin minimal - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
    Cet article traite du problème de relier trois villes par des routes en utilisant le moins de goudron possible. Il relate le cheminement qui a permis aux élèves de trouver la meilleure configuration accompagnant ainsi le lecteur.
    Mots clés: géométrie, droites remarquables d'un triangle
  • Article : On vous a grillés ! - Collège Etienne Dolet (Orléans)
    Cet article présente un tour de « magie » mathématique. Un spectateur choisit mentalement un nombre. Le magicien lui présente alors plusieurs cartes sur lesquelles les premiers entiers sont classés selon leur décomposition en base 2 par exemple (il est également proposé des variantes avec la base 3 et la base formée des nombres de Fibonacci). Le spectateur indique au magicien sur quelles cartes se trouve son nombre, et le magicien est alors en mesure de lui annoncer le nombre auquel il a pensé. On évoque dans le corps de l'article, la décomposition de tout entier en base 2 (et son unicité) ainsi que la décomposition de tout entier à l'aide des entiers de Fibonacci.
    Mots clés: numération en bases, décomposition binaire, Fibonacci
  • Article : Tour de mathémagie de Fibonacci - Collège Etienne Dolet (Orléans)
    Il s'agit de trouver des propriétés des suites de nombres définies par la données des deux premiers termes et la rêgle suivante : tout terme de la suite est égal à la somme des deux termes précédents.
    Mots clés: calcul algébrique, divisibilité, nombre d'or, fraction
  • Article : L impair et l autre pas - Collège Etienne Dolet (Orléans)
    On place quinze objets sur la table, chaque joueur en prend à son tour 1, 2 ou 3. Gagne celui qui (quand il n'y a plus d'objet sur la table) possède un nombre pair d'objets. Il s'agit ici de trouver une stratégie gagnante.
    Mots clés: jeu de Nim, pair, impair, stratégie gagnante
  • Article : La géométrie de Pierre - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
    Dans cet article, les auteurs étudient un jeu de géométrie qui se compose d’un gros cube et de 3 solides : un prisme triangulaire de base un triangle équilatéral, un parallélépipède rectangle de base un carré et un cylindre. Le gros cube a trois ouvertures. L’une des ouvertures a la forme d’un triangle équilatéral, une autre a la forme d’un carré et la dernière la forme d’un disque. Le but de l'article est d'expliquer comment déterminer les dimensions des ouvertures pour que chaque solide puisse être inséré dans le gros cube en passant par l’ouverture qui lui correspond (le triangle pour le prisme à base Dans cet article, les auteurs étudient un jeu de géométrie qui se compose d’un gros cube et de 3 solides : un prisme triangulaire de base un triangle équilatéral, un parallélépipède rectangle de base un carré et un cylindre. Le gros cube a trois ouvertures. L’une des ouvertures a la forme d’un triangle équilatéral, une autre a la forme d’un carré et la dernière la forme d’un disque. Le but de l'article est d'expliquer comment déterminer les dimensions des ouvertures pour que chaque solide puisse être inséré dans le gros cube en passant par l’ouverture qui lui correspond (le triangle pour le prisme à base triangulaire, le carré pour le parallélépipède, le disque pour le cylindre), et uniquement par celle-ci.
    Mots clés: jeu de géométrie, figure inscrite, théorème de Pythagore, théorème de Thalès
  • Article : A.R.U.I.: Advanced Research Unit Investigations - Athénée Royal d Uccle I Collège Saint Hubert (Bruxelles)
    Résoudre des énigmes policières à l'aide de la théorie des graphes, voici la tâche de l'A.R.U.I. Ils vont expliquer comment arrêter un kidnappeur d’enfants sur une île isolée, comment retrouver l’auteur d’un vol de tableau dans un grand musée bruxellois, comment démasquer l’auteur du vol des examens de mathématique à l’Athénée d’Uccle, comment expliquer la réussite de l’évasion spectaculaire de quatre dangereux malfaiteurs de la prison de haute sécurité de Tracalzar. Plusieurs concepts classiques de théorie des graphes (parité des degrés d'une marche dans un multi-graphe, 3-coloration, propriétés des graphes d'intervalles, algorithme de Dijkstra dans un graphe pondéré) sont mis en jeu. L'utilisation de ces outils théoriques permet de prouver qui est le malfaiteur.
    Mots clés: graphe, théorie des graphes, enquête policière, algorithme de Dikjstra, circuit eulerien, graphe d'intervalles
  • Article : Une machine d humeur très changeante - Lycée Jean Lurçat (Perpignan) Lycée Maillol (Perpignan)
    Vous introduisez dans une machine un nombre entre 0 et 1 et régler un curseur sur une valeur entre 0 et 4. La machine transforme alors votre nombre de la façon suivante: elle lui soustrait son carré, multiplie le résultat par la valeur indiquée par le curseur, affiche le résultat, puis recommence avec cette nouvelle valeur et poursuit ainsi indéfiniment. Quelle est l'influence de valeurs choisies au départ sur le comportement des résultats affichés ?
    Mots clés: fonction itérée, chaos
  • Article : Economie de bitume - Lycée Jean Lurçat (Perpignan) Lycée Maillol (Perpignan)
    Quatre maisons sont situées aux coins d'un carré de côté 1 km. Quel est le réseau routier permettant de relier ces quatre maisons qui possède la plus courte longueur totale ? Cet article étudie différentes alternatives concurrentes pour le plus court chemin entre les quatre coins d'un carré. Les élèves ont trouvé parmi une famille un chemin le plus court. Ils n'ont cependant pas pu montrer que c'était le chemin le plus court, ce résultat étant très difficile. Néanmoins, ils ont trouvé que cette conjecture avait été démontrée.
    Mots clés: théorème de Pythagore, dérivation, minimisation d'un fonction
  • Article : Automate cellulaire cyclique - Collège de Marciac (Marciac)
    Les élèves du collège de Marciac ont étudié une familles d'automates cellulaires inspirée du jeu « pierre-feuille-ciseaux » (une case évolue vers le résultat obtenu en faisant jouer ladite case avec sa voisine de droite). Ils ont fait des observations permettant de prévoir comment une suite infinie de configurations initiales évoluera à l'infini. Ces observations ont été formalisées, et prouvées à l'aide d'un « algorithme » (décrivant les diverses évolutions possibles de « boîtes », qui sont des sous-suites composées de deux chiffres uniquement).
    Mots clés: automate cellulaire, pierre feuille ciseaux, état stationnaire, évolution
  • Article : Jeu de Nim - Collège de Marciac (Marciac)
    l'article présente le jeu de Nim à un tas, jeu de type duel sans partie nulle. Une stratégie gagnante est présentée. La stratégie repose sur une propriété arithmétique simple. L'article contient une démonstration de la propriété et établit une preuve par induction de la stratégie gagnante.
    Mots clés: jeu de Nim, stratégie, duel
  • Article : Maths et magie - Collège de Marciac (Marciac)
    Dans cet article, les élèves étudient une méthode de battage d'un paquet contenant un nombre pair de cartes. Le paquet est séparé en deux tas, et le battage consiste à alterner une carte du premier paquet avec une carte du second paquet. On s'interesse plus précisément au nombre d'étapes nécessaires pour que toutes les cartes du paquet reviennent à leur position de départ. L'article comporte en particulier : une conjecture sur le nombre d'étapes nécessaires pour un paquet de 2puissance n cartes, n >ou = 1 ; un résultat démontré concernant l'équivalence entre retour d'une carte à sa position initiale et retour de l'ensemble du paquet à sa position initiale, ceci lorsque le battage débute à partir du tas situé en haut du paquet ; et une preuve de l'égalité entre le nombre de battages nécessaires pour un paquet de 2p cartes en commençant par le tas du haut, et le nombre de battages nécessaires pour un paquet de 2p + 2 cartes en commencant par le tas du bas.
    Mots clés: permutation, problèmes de mélanges
  • Article : Des nombres que l’on peut construire nous-même - Collège Victor Hugo (Nantes) Collège Paul Langevin (Coueron)
    En partant d'une feuille contenant uniquement deux points espacés de 1 cm et en utilisant uniquement un compas et une règle non graduée, les auteurs se demandent s'il est possible pour n'importe quel nombre x de placer un point, à la distance x d'un des points de départ. L'article présente des méthodes de construction pour les nombres entiers, les nombres rationnels et les racines carrées de nombres entiers. Il est annoncé, sans construction, que le nombre d'or est constructible, mais pas le nombre Pi.
    Mots clés: nombre constructible, règle, compas, pi, racine carrée
  • Article : Carrés magiques - Collège Victor Hugo (Nantes)
    Cet article présente la notion de carré magique de taille 3x3, et une liste de 8 carrés de telle nature. Les auteurs donnent des arguments pour démontrer qu'il n'existe pas d'autres carrés magiques 3x3.
    Mots clés: carré magique, dénombrement, combinatoire
  • Article : Alphaville - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
    Dans une ville où les rues forment un quadrillage, on souhaite placer des pharmacies aux carrefours de sorte que chaque carrefour soit à une distance 0 ou 1 d'une pharmacie. Comment réussir cela en plaçant le moins de pharmacies possibles ? Les auteurs présentent une méthode systématique où les pharmacies sont disposées en losanges et font l'analogie avec le déplacement d'un cavalier aux échecs.
    Mots clés: quadrillage, graphe, distance, minimum, stratégie optimale
  • Article : Jeu de Nim - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
    Deux joueurs prélèvent à tour de rôle 1, 3 ou 5 allumettes dans un tas. Le but est d'éviter de prendre la dernière allumette. Les auteurs montrent que le résultat du jeu ne dépend pas de la manière de jouer, mais seulement de la parité du nombre d'allumettes de départ.
    Mots clés: allumette, jeu de Nim, tas d'allumettes, parité, stratégie gagnante
  • Article : Le Dragon - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
    On s’intéresse à un dragon posé au sommet d’une planète cubique et crachant des flammes « en ligne droite ». L’article propose trois manières de définir ce concept de « ligne droite » : soit la ligne s’arrête lorsqu’un bord est atteint, soit la ligne est l’intersection d’un plan passant par le centre, par le sommet du dragon, et par un autre point du cube, soit la ligne correspond à une ligne droite lorsqu’elle est redessinée sur le patron du cube. Pour les trois types de définitions, l’article illustre quelles sont les zones accessibles par les flammes (les trois faces auquel le sommet appartient dans la première définition, le cube en entier dans les deux autres), et si le dragon peut faire une flamme qui lui revient dessus (ce n’est jamais le cas avec la première définition, c’est toujours le cas pour la deuxième, et cela peut arriver pour le dernier cas).
    Mots clés: cube, patron, géodésique, construction géométrique, géométrie dans l'espace, géométrie
  • Article : Crocnum - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
    Crocnum est un gentil monstre qui se nourrit de nombres. Il les aime tant qu'il veut en manger le plus possible. Mais Crocnum doit faire très attention : s’il se retrouve avec dans son ventre deux nombres dont la somme est égale à un autre nombre qu’il a aussi avalé, alors il explose ! Dans l'article, les élèves dialoguent avec Crocnum et l'aident à manger le plus de nombres possibles sans exploser. Crocnum est très gourmand et il en veut toujours plus. Des méthodes sont proposées au glouton en vue d'augmenter ce qu'il peut manger. Certaines sont basées sur la parité, d'autres essayent en parcourant les nombres dans l'ordre croissant à partir d'un nombre donné de le manger dès qu'il ne cause pas directement une indigestion. Cette méthode fait apparaître des périodes qui sont étudiées dans l'article. Dans une première partie, Crocnum est un bonne santé et dans une deuxième partie, il est malade (les nombres peuvent se dupliquer dans son ventre). Mais est-ce bien grave?
    Mots clés: nombre entier, somme, proportion, ensemble infini, périodicité
  • Article : Des coloriages économiques - Lycée Atlantique (Luçon)
    Les élèves ont étudiés deux problèmes de coloriage : 1. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier les pays d’une carte de géographie sur une planète sphérique, polyédrique, torique, sans que deux pays limitrophes soient de la même couleur. Ils conjecturent que quatre couleurs sont suffisantes et ont des idées pour montrer que cela est possible avec cinq couleurs. 2. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier un plan, sans que deux points distants d’une unité soient de la même couleur. Ils donnent une construction avec sept couleurs et montrent que quatre couleurs sont impossible.
    Mots clés: coloriage d'un plan, nombre chromatique du plan, théorème des quatre couleurs, graphe planaire
  • Article : Le jeu de Hex - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
    Le jeu de Hex se joue sur un damier en forme de losange dont les cases sont hexagonales. Deux côtés opposés du damier sont rouges, les deux autres sont bleus. Il y a un joueur bleu et un joueur rouge. Chaque joueur, à tour de rôle, colorie une case (quelconque mais non coloriée) de sa couleur. Le but du jeu pour chaque joueur est de relier les deux côtés de sa couleur par un chemin constitué de cases adjacentes de sa couleur. Les élèves des deux ateliers ont d’abord étudié le cas d’un damier 3x3, c’est à dire à 9 cases. Ils ont déterminé dans ce cas le nombre de coloriages possibles du damier (si toutes les cases sont coloriées) lorsque les rouges commencent à jouer. Il ont montré qu’alors il y avait toujours un gagnant et que dans deux tiers des cas, c’était les rouges (qui ont commencé) qui gagnaient. Ils ont aussi déterminé pour un damier à 9 cases une stratégie gagnante. Si celui qui commence colorie d’abord la case centrale, il est assuré de gagner (s’il joue bien). Les élèves ont également donné des pistes pour une stratégie pour un damier 5x5. Ils montrent en particulier qu’on ne peut pas « importer directement » la stratégie 3x3.
    Mots clés: combinatoire, dénombrement, stratégie de jeu
  • Article : Le jeu du XXX - Lycée de la mer (Gujan Mestras) Université de Bordeaux (Talence)
    Le problème étudié concerne un jeu combinatoire proche du jeu de Nim (jeu des allumettes). Face à divers lignes de jetons, les joueurs peuvent retirer à tour de rôle, un jeton isolé, deux jetons sur le bord d'une ligne ou trois jetons consécutifs. L'objectif est de ne pas prendre le dernier jeton. Cette publication vise à déterminer si une situation est gagnante ou perdante ainsi qu'une stratégie gagnante dans le premier cas. Plus précisément, il est dit que le reste de la division euclidienne par 14 de la longueur d'une plus longue ligne de jetons consécutifs, permet de de classifier les différentes situations. Cette idée s'avère fausse bien qu'étonnamment proche du premier raisonnement (faux également) mené par l'inventeur de ce jeu (faute précisée dans l'épilogue).
    Mots clés: jeu combinatoire, analyse des jeux, fonction de Gründy, jeu, stratégie gagnante, stratégie
  • Article : Un drôle d arbre - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Cet article s'intéresse à l'arbre de Pythagore, construit par étapes à partir de carrés et de triangles rectangles isocèles. Il présente une méthode pour calculer la hauteur de l'arbre après n'importe quel nombre d'étapes et permettant de conjecturer que la hauteur totale de l'arbre reste finie. Il est également montré, en utilisant le théorème de Pythagore, que l'aire des carrés ajoutés à chaque étape reste constante, mais que ces carrés se chevauchent à partir de la sixième. Quelques variantes sont ensuite testées avec des triangles rectangles non isocèles ou avec des hexagones. On constate que l'arbre semble toujours finir par se chevaucher, mais que le nombre d'étapes pour y arriver est variable.
    Mots clés: arbre, théorème de Pythagore, géométrie, mesure
  • Article : Jeu de Hex et stratégie gagnante - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Les auteurs expliquent les règles du jeu de Hex et donnent une stratégie gagnante pour les petits plateaux.
    Mots clés: jeu, stratégie gagnante, Jeu de Hex
  • Article : Jeu des différences - Collège Alain Fournier (Orsay)
    On dispose d’une suite d’au moins 3 nombres dont on calcule les écarts. On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu’on n’a pas obtenu des écarts tous nuls. L’objectif est donc de savoir s’il est toujours possible d’aboutir à cette suite nulle. Dans l’article, il est prouvé que le jeu se termine obligatoirement dans les cas où l’on démarre avec 2 ou 4 nombres. Pour les cas à 3 ou 5 nombres, une analyse de ce qui empêche la victoire est proposée .Une conjecture est proposée pour le cas général.
    Mots clés: jeu numérique, suite numérique
  • Article : Saute-moutons - Collège Alain Fournier (Orsay)
    Comment faire se croiser deux troupeaux de moutons en file indienne en les faisant sauter les uns par dessus les autres ? Cet article étudie d'abord les exemples de troupeaux composés de 2, 3 ou 4 moutons avant d'en déduire et de démontrer par récurrence une formule donnant le nombre de coups pour n'importe quel nombre de moutons, puis de décrire une méthode permettant d'atteindre ce nombre de coups. À la fin de l'article la question de l'extension à trois troupeaux est posée avec quelques pistes de réflexion qui restent à explorer.
    Mots clés: permutation, dénombrement, saute-mouton, solitaire
  • Article : Probabilités et pièces d or - Collège Alain Fournier (Orsay)
    On propose l'étude d'un jeu de manière probabiliste. On procède à un tirage de pièces sans remise, et suivant la nature de la dernière pièce tirée, on perd ou on gagne le jeu. On veut déterminer la probabilité de perdre. L'article propose une étude suivant la nature des pièces. Dans des cas particuliers, le problème a été résolu à l'aide d'arbres, et ensuite, la démonstration générale est proposée par récurrence.
    Mots clés: probabilité, arbre, récurrence, programmation en Java
  • Article : Tour de cartes - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
    Le « tour des 21 cartes » est un tour de magie lors duquel le prestidigitateur utilise un algorithme simple pour déterminer la carte secrètement choisie par un volontaire parmi 21 cartes. L'algorithme consiste à (i) successivement répartir les cartes face visible dans trois piles distinctes (deux cartes consécutives étant placées dans deux paquets différents) ; (ii) demander au volontaire de désigner dans quelle pile se trouve la carte qu'il a choisie ; (iii) empiler les trois paquets de 7 cartes en veillant à ce que la pile désignée par le volontaire soit placée au milieu. Il suffit au prestidigitateur de répéter ces trois étapes trois fois, après quoi il est certain que la carte désignée par le volontaire se trouve en 11ème position. Une recherche exploratoire permet aux auteurs de déterminer le rôle spécial de la « 11ème place » dans cet algorithme; plusieurs extensions (à un nombre pair de cartes, à un nombre différent de piles) sont également discutées.
    Mots clés: jeu, carte, tour de cartes, tour de magie, division euclidienne
  • Article : Jeu de couleurs - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
    Cet article concerne le remplissage d’une feuille de papier de points de couleurs de sorte que deux points distants d’exactement 2 cm soient toujours de couleurs différentes. Dans un premier temps, les auteurs se sont intéressés à la coloration de certains pavages (triangulaire, carré, trihexagonal), qu’ils ont obtenu par symétries à partir de certaines figures géométriques dont ils ont colorié les sommets. Ils obtiennent ainsi des manières de remplir une feuille de points de couleur avec 6, 3, 2 et 1 couleurs. Les auteurs ont ensuite cherché à colorier entièrement une feuille, en translatant certaines formes géométriques colorées. Ils obtiennent ainsi des coloriages d’une feuille avec 9, 8 et 7 couleurs. Les auteurs montrent ensuite que le nombre minimal de couleurs nécessaires au coloriage de la feuille (nombre chromatique du plan) est au moins 3.
    Mots clés: construction géométrique, couleur, pavage, graphe, coloriage d'un plan, coloration
  • Article : La percolation - Lycée d Altitude (Briancon)
    Dans une grille 10*10, on colorie un certain nombre de cases en noir, qui sont appelées obstacles. Le nombre de cases noires en pourcentage est noté d, densité d'obstacles. On cherche à savoir si en versant un fluide en haut de la grille, celui-ci va atteindre le bas de la grille. Si c'est le cas on dit qu'il y a percolation. Grâce à un tableur, puis à un programme en Python, des simulations de grilles ont été réalisées pour différentes densités d . A partir de ces simulations, on a pu observer l'allure de la courbe de la fréquence de percolation en fonction de la densité d d'obstacles.
    Mots clés: percolation, simulation, programmation, fréquence, graphique, histogramme
  • Article : Les tâches des girafes - Lycée d Altitude (Briancon)
    Étant donnés n points A1, A2, ..., An , on appelle diagramme de Voronoï de A1, A2, ..., An l'ensemble des cellules Ci={M tel que d(M,Ai)<d(M,Aj) pour tout j ≠ i}. Le but de l'article est de construire et étudier les diagrammes de Voronoï. Les élèves sont arrivés à définir un algorithme pour réaliser le diagramme de Voronoï d'un réseau de points quelconques. Parallèlement ils ont trouvé le nombre maximal de médiatrices de n points. Ils ont aussi élaboré un jeu lié au diagramme de Voronoï et proposé des stratégies gagnantes.
    Mots clés: diagramme de Voronoï, médiatrice, jeu Voir aussi : http://www.lyc-altitude.ac-aix-marseille.fr/spip/IMG/pdf/2014-Girafe-PA-MeJ-Bria...
  • Article : Le pingpong - Collège Jacques Prévert (Saint Orens) Collège Jean Jaurès (Castanet)
    Étude d'un jeu sur un plateau rectangulaire dont on cherche à retourner tous les pions. L'unique coup consiste à choisir un pion et retourner tous ses voisins. Recherche des plateaux faisables et des stratégies associées.
    Mots clés: théorie des jeux, stratégie gagnante
  • Article : Les Feux de l Amour - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
    On suppose que plusieurs personnes sont debout dans une salle. Au même instant, ils décident tous de marcher en direction de leur voisin de gauche. Vont-ils finir par se rencontrer ? Les auteurs démontrent que la forme de la pièce, la distance parcourue à chaque pas et le nombre de participants peuvent influencer le résultat. Les logiciels Geogebra et Algobox ont été utilisés pour simuler les différentes situations.
    Mots clés: vecteur, distance, récurrence Voir aussi : http://blog.crdp-versailles.fr/mathenjeanslyceeorsay/index.php/
  • Article : Cryptographie, des textes à décoder... - Lycée Jean Puy (Roanne)
    L'article considère plusieurs systèmes de cryptographie. Il présente le principe et la cryptanalyse des codages de César et par substitution, mais aussi du codage de Vigenère sans connaître la longueur de la clé. L'article termine par la mise en œuvre du procédé de Diffie Helman, qui permet à deux personnes de se mettre d'accord à distance sur une clé pouvant servir par la suite à coder un message.
    Mots clés: cryptographie, décoder, codage, coder, code, César, substitution, codage de Vigenère, codage de Diffie Hellman
  • Article : Jeu de Nim et variantes - Lycée Jean Puy (Roanne)
    Trois types de jeux combinatoires impartiaux sont abordés dans cet article: tout d'abord le jeu de soustraction {1,2,3} est présenté puis résolu pour une taille de tas quelconque (l'exemple de stratégie gagnante est donné pour 18 jetons). Le second jeu est celui où à partir d'un tas de n jetons, les deux joueurs peuvent retirer soit 1 soit (k+1) jetons, où k est le nombre de jetons retirés par le précédent joueur. Des stratégies gagnantes sont prouvées grâce au graphe des situations de jeu pour n=3,4,8,15. Enfin, les élèves ont résolu le jeu Chomp pour quelques tailles particulières (3x3, 3x2,4x3).Le cas du carré est conjecturé comme toujours gagnant pour le premier joueur.
    Mots clés: jeu, stratégie, stratégie gagnante, Chomp, arbre de possibilités, disjonction de cas, jeu combinatoire, jeu de Nim
  • Article : Tas de sable numériques - Lycée Esclangon (Manosque)
    Les tas de sables numériques sont un exemple simple de modélisation d'effondrement en chaine. Une question naturelle est de déterminer les configurations stables que l'on peut obtenir après écroulement. Dans cet article on trouvera une description exhaustive de ces positions dans le cas de la dimension un (écroulement sur une ligne). L'implémentation d'un algorithme simulant l'effondrement des tas de sables a également permis d'émettre quelques conjectures en dimension deux (sur un carré), et de faire émerger l'existence de configurations neutres . De tels tas de sables peuvent être superposés à d'autre de tel sorte que l'effondrement qui en résulte ramène à la configuration de départ.
    Mots clés: tas de sable, algorithme, nombre entier, avalanche, groupe
  • Article : Le Dobble - Lycée Esclangon (Manosque)
    Ce texte propose une étude du Jeu « Dobble », un jeu de réflexes. Le jeu se compose de 55 cartes portant 8 symboles différents chacune, de plus deux cartes différentes ont toujours un seul symbole en commun. L'auteur commence par étudier des jeux satisfaisant les mêmes contraintes que le « Dooble » mais n'utilisant qu'un nombre réduit de symboles par cartes. Cela permet d'établir des conjecture sur le nombre de cartes des jeux de type « Dobble », complets, à n symboles par cartes. Ces conjectures sont ensuite démontrées. Puis l'article se concentre sur la construction de jeux en utilisant une méthode mêlant arithmétique et géométrie. Les jeux ainsi construit présentent une structure mathématique riche (plus riche que celle du jeu du commerce !), l'auteur présente de nouvelles règles du jeu qui tirent parti de cette richesse.
    Mots clés: jeu, Dobble, combinatoire, arithmétique, géométrie projective, corps fini, congruence
  • Article : La Multiplication pour les nuls - Collège Mario Meunier (Montbrison)
    Pour quelques nombres entiers n, il s'agit de trouver un moyen de multiplier n'importe quel nombre entier par n, et ce, sans utiliser les tables de multiplication. Plus précisément, on n'a le droit que d’additionner et de soustraire des chiffres, et le but étant d'utiliser le moins d'opérations possibles. L'article propose des méthodes pour n=11 et 6 (avec justifications) puis pour 5,7,8,9 (sans justifications).
    Mots clés: multiplication, addition, soustraction, troncature
  • Article : Les amida-kuji (le retour) - Collège Mario Meunier (Montbrison)
    Cet article fait suite au travail de l'année précédente sur les Amidas-kujis (http://www.mathenjeans.fr/content/article-les-amida-kuji-collège-mario-meunier-montbrison). L'amida-kuji est un jeu de hasard japonais qui permet par exemple de faire une répartition aléatoire de tâches/lots parmi un groupe de personnes. Les auteurs s’intéressent ici aux amidas-kujis équivalents. En particulier ils donnent des méthodes par simplification pour déterminer des Amidas-kujis équivalents ainsi que le nombre de classes d'équivalence d'amidas-kujis.
    Mots clés: amidakuji, aléatoire, permutation, relation d'équivalence, jeu de hasard
  • Article : Aurez-vous la grippe cet hiver ? - Ecole Internationale (Manosque)
    L'article propose une modélisation de la propagation du virus de la grippe. Les auteurs proposent un premier modèle, basé sur leur intuition et le confrontent à l'avis d'un médecin. Sur base de cet avis, ils tentent de dégager les facteurs importants de contamination afin d'améliorer leur modèle. Ils comparent alors les prévisions des différents modèles envisagés avec la réalité grâce aux données du site "Sentinelles". Suite à cette comparaison, le modèle linéaire à seuil semble être le plus probant. Repartant de celui-ci, les auteurs testent la sensibilité des différents paramètres intervenant grâce à l'utilisation d'un solveur, les plus sensibles étant le taux de contamination et le taux de vaccination. Enfin, les auteurs concluent en donnant certaines pistes d'amélioration de leur modèle, notamment en tenant compte d'autres paramètres comme la météo ou la répartition géographique de la population.
    Mots clés: modélisation, fonction, tableur, solveur
  • Article : Propagation de rumeurs - Lycée Saint Joseph (Bressuire) Lycée Pilote innovant international (Jaunay Clan)
    Les auteurs de l’article étudient la propagation d’une rumeur dans une file d’attente supposée de longueur infinie, avec ou sans hasard. Ils établissent des conjectures sur le nombre de contaminés après avoir observé des résultats expérimentaux. Ils démontrent un théorème sous réserve que les conjectures soient vraies. Puis ils créent des algorithmes permettant de simuler des déplacements au hasard, observent ces résultats et en tirent des conclusions sur la vitesse de propagation des rumeurs.
    Mots clés: propagation, aléatoire, modélisation, hasard, algorithme, automate, saut
  • Article : Celui qui prend le dernier pion a gagné. - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
    Dans cet article, les auteurs étudient et généralisent la célèbre épreuve des bâtonnets du jeu télévisé Ford Boyard, en l’étendant à un nombre quelconque de bâtonnets, éventuellement positionnés sur plusieurs lignes.
    Mots clés: jeu, jeu de Nim, allumette, multiple, parité, symétrie, stratégie, jeu somme Voir aussi : http://lgmaths.free.fr/www/index.php/MJ1213_Celui_qui_prend_le_dernier_pion_a_ga...
  • Article : Recollons les morceaux !-Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)-
    L'article étudie le problème suivant : étant donnés deux polygones A et B du plan, est-il possible de découper A en polygones plus petits tels que l'on puisse les réorganiser pour former B ? Après l'étude d'exemples et de cas particuliers, les auteurs montrent comment l'on peut élargir leurs résultats, peu à peu jusqu'au cas général, en s'appuyant à chaque fois sur les cas précédents (rectangle et carré, triangle et carré, ...) et nous montrent, au passage, un joli raisonnement par récurrence.
    Mots clés: géométrie, polygone, découpage, aire, récurrence, généralisation Voir aussi : http://lgmaths.free.fr/www/index.php/MJ1213_Recollons_les_morceaux
  • Article : Carrés Magiques - Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)
    Les auteurs se sont intéressés aux carrés magiques : tout d'abord, ils trouvent tous les carrés magiques d'ordre 3, ensuite ils proposent une formule générale pour le calcul de la somme d'un carré magique d'ordre n, puis ils énoncent quelques résultats et remarques sur les carrés magiques d'ordre 4. Ils proposent également une méthode pour construire des carrés magiques d'ordre pair, et cherchent à définir la somme de deux carrés magiques.
    Mots clés: arithmétique, somme, jeu
  • Article : Surface minimale pour retourner un segment - Lycée d Altitude (Briancon)
    Le retournement d'une aiguille consiste à retourner un segment AB de longueur l (B en A et A en B) en restant dans le plan. Cinq méthodes différentes de retournement visant à minimiser l'aire balayée sont présentées. Les deux premières méthodes incluent une rotation complète et produisent une aire de πl²/4. Une méthode n'aboutit pas et les deux autres méthodes produisent une aire de πl²/8.
    Mots clés: trigonométrie, Surface minimale, géométrie, optimisation, calcul d'aire, limite, fonction Voir aussi : http://www.lyc-altitude.ac-aix-marseille.fr/spip/IMG/pdf/2013-Aiguille-MeJ-Brian...
  • Article : Aire ! - Lycée Jean Hinglo (Le Port) Lycée Bellepierre (Saint Denis De La Reunion)
    Les auteurs considèrent dans un plan, des polygones dont les sommets sont à coordonnées entières. Ils montrent par récurrence une formule permettant de calculer l’aire de ces polygones en fonction du nombre de points à coordonnées entières se situant sur les arêtes ou à l’intérieur du polygone.
    Mots clés: aire, polygone, coordonnée entière, théorème de Pick, Pick, quadrillage, intérieur, sommet, arête
  • Article : Que fait google ? - Lycée Jean Hinglo (Le Port) Lycée Bellepierre (Saint Denis De La Reunion)
    Cet article permet de mieux comprendre le fonctionnement des classements proposés par des moteurs de recherche tels que Google. Le principe est de partir du nombre de liens d'un site et de regarder sur quel site on a le plus de chances de finir. De plus, les auteurs ont ajouté une probabilité de rester sur le site pour améliorer les résultats. Une certaine connaissance des matrices est recommandée pour mieux comprendre ce texte.
    Mots clés: graphe, matrice, algorithme, probabilité, python, internet, moteur, pagerank, Google
  • Article : Jeu de cubes - Lycée Pierre d Aragon (Muret)
    On dispose de quatre cubes et de gommettes de quatre couleurs différentes. Le jeu consiste à disposer les cubes les uns sur les autres, de manière à voir les quatre couleurs sur chaque face. Comment placer les gommettes afin d'obtenir une, plusieurs ou aucune solution ? Un jeu à l'apparence simple mais en réalité éreintant… Heureusement, nous pouvons compter sur l'aide de ces objets permettant de dessiner nos idées les plus ingénieuses : les graphes !
    Mots clés: dé, jeu combinatoire, arbre de possibilités, graphe, casse-tête
  • Article : Les tas de sable-Lycée d Altitude (Briancon)-
    Les auteurs étudient la forme d'un tas de sable posé sur un support plat polygonal. Ils montrent que le tas de sable forme un polyèdre et décrivent la configuration des arêtes de ce polyèdre à partir de la forme du support. Dans le cas où le support est un polygone à 3, 4 ou 5 côtés, la description est complète, et l'article donne des pistes pour l'étude du cas général.
    Mots clés: cercle inscrit dans un polygone, ligne de plus grande pente, cercle inscrit, tas de sable, polygone, bissectrice, pente, angle, talus Voir aussi : http://www.lyc-altitude.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?article91
  • Article : Télépathie-Collège Chepfer (Villers lès Nancy)-
    Un nombre pris entre 1 et 100 a été multiplié par 33 et l'on connaît les deux derniers chiffres du résultat. Est-il possible alors de retrouver le nombre de départ ? Il est démontré dans cet article que cela est bel et bien possible. Deux méthodes différentes ont été découvertes et la deuxième permet de trouver le nombre rapidement de tête. Ce résultat est ensuite généralisé en remplaçant 33 par n'importe quel autre nombre qui n'est multiple ni de 2 ni de 5 grâce à de jolies propriétés des multiples et des diviseurs. Il est également expliqué comment dans plusieurs cas particuliers, il est possible de faire le calcul de tête.
    Mots clés: arithmétique, multiple, diviseur
  • Article : Calculer à la règle et au compas-Collège Chepfer (Villers lès Nancy)-
    Les élèves, à partir de segments de longueur 1, a, b , et en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée, construisent des segments de longueur a+b, a-b, ab, a/b, les puissances de a et la racine carré de a. Ils utilisent pour ces constructions les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Construction, règle et compas, longueur, Pythagore, Euclide, Thalès. Nombres constructibles
    Mots clés: construction, compas, règle, géométrie, théorème de Pythagore, théorème de Thalès
  • Article : Les frères du Petit Poucet - Lycée Bichat (Luneville)
    Dans le conte de Perrault, le Petit Poucet est le dernier d'une fratrie de sept enfants, qui sont chacun nés avec au moins un frère jumeau. Comment sont réparties les naissances ? Il y a 7 possibilités différentes. Plus généralement, combien y aurait-il de possibilités pour n enfants ?
    Mots clés: partition, suite de Fibonacci, suite récurrente, dénombrement
  • Article : Compter avec deux doigts-Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)-
    en imaginant que des extra terrestres n'ont qu'un doigt à chaque main, cet article est une découverte de la base 2 et des procédés de calcul pour les 4 opérations. D'autres bases de numération sont ensuite étudiées.
    Mots clés: base 2, calcul binaire, bases de numération
  • Article : Tour de Magie-Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)-
    On cherche a comprendre un tour de magie dans lequel le magicien trouve le nombre auquel une personne pense en lui donnant des listes de nombres et en lui demandant dans quelles listes le nombre se trouve. Le tour est basé sur la décomposition des nombres en base 2. On améliore le tour de magie en permettant au joueur de choisir des nombres plus grands. On donne un algorithme permettant de calculer l'écriture binaire d'un nombre. Enfin, on étudie une opération basée sur l'écriture binaire, et que l'on applique pour obtenir un procédé cryptographique.
    Mots clés: algorithme, base, division euclidienne, binaire, cryptographie, opération booléenne, tour de magie Voir aussi : http://195.25.195.92:8080/mathematique/
  • Article : Découpage de spaghettis pour former un triangle - Lycée Beaupré (Haubourdin)
    Les auteurs déterminent la probabilité de pouvoir former un triangle après avoir découpé aléatoirement un spaghetti en trois morceaux. Deux protocoles de découpage sont envisagés et donnent lieu à des résultats différents. Les résultats sont obtenus tout d'abord à l'aide de simulations, puis sont démontrés à l'aide de calculs d'aires.
    Mots clés: probabilité, simulation, géométrie dynamique, calcul d'aire, triangle, inégalité triangulaire, découpage
  • Article : La pile de crêpes-Collège Alain Fournier (Orsay)-
    Comment avec une simple palette, remettre dans l'ordre les crêpes d'une pile ? Au départ, les crêpes (de tailles toutes différentes) sont empilées n'importe comment. On veut les ranger par ordre décroissant, de la plus grande en bas à la plus petite en haut, en effectuant le moins de manipulation possible. La seule opération permise est d'insérer une palette entre deux crêpes et de retourner en bloc le haut de la pile. Les auteurs de cet article proposent un algorithme permettant de résoudre ce problème avec n'importe quel rangement initial, en étudiant les cas extrêmes.
    Mots clés: tri, pile, algorithme, crêpe
  • Article : Communications entre grenouilles-Collège Alain Fournier (Orsay)-
    Des grenouilles sont placées en ligne, chacune sur son nénuphar. Une d’entre elles décide d'informer les autres grenouilles. Elle sait sauter de g nénuphars vers la gauche (exactement), et de d nénuphars vers la droite (exactement). Pourra-t-elle informer toutes les grenouilles ? Des résultats ont été obtenus dans des cas particuliers. Les élèves ont démontré que l’information n’est pas possible dans le cas où d et g ont un facteur commun autre que 1. Une méthode a été obtenue dans le cas où d et g sont premiers entre eux, sans généralisation.
    Mots clés: communication, nombres premiers entre eux, facteur commun
  • Article : Pavage par des L - Lycée V. et H. Basch (Rennes)
    Peut-on recouvrir une forme composée de carrés unitaires en forme d'escalier, à n lignes et n colonnes, par des blocs de trois carrés en forme de L ? Les élèves ont élaboré une méthode qui permet de répondre à la question dans certains cas.
    Mots clés: pavage, découpage, aire, divisibilité, quadrillage
  • Article : 2013 avec des 1 - Collège la Garenne (Gramat) Collège Albert Camus (Villemur)
    Le problème étudié est de retrouver le facteur, qui multiplié par 2013, donne un nombre composé que de un. Les auteurs ont trouvé ce facteur en utilisant différentes méthodes : des multiplications à trous et l'utilisation d'un tableur. Ils ont cherché à trouver des propriétés identiques avec d'autres nombres comme 1013, 2014 et 2015.
    Mots clés: tableur, multiplication, division euclidienne, division
  • Article : Pliage d une feuille de papier-Collège Alain Fournier (Orsay)-
    Les élèves ont travaillé, comme l'indique le titre, sur les pliages et découpages de feuilles de papiers. Dans la première partie, ils se sont demandés s'il était possible d'augmenter le périmètre d'une feuille uniquement à l'aide de pliages. La deuxième partie était, elle, centrée sur les différentes formes géométriques que l'on peut obtenir en un seul coup de ciseaux après pliages.
    Mots clés: pliage, périmètre, découpage, feuille, géométrie
  • Article : Valse-Collège Alain Fournier (Orsay)-
    Il s’agit de l’étude d’une « chorégraphie » composée d’un ensemble de rotations et de translations, que l’on répète à loisir. L’article caractérise, à l’aide d’un repère, pour certaines longueurs de chorégraphie avec rotations à angle droit, les cas dits de « boucle fermée » où après un certain nombre de répétitions, on se retrouve dans la condition initiale. Le nombre de répétitions nécessaire est conjecturé et exprimé à l’aide de plus petits communs multiples, dans le cas général d’un angle entier.
    Mots clés: danse, division, diviseur, plus petit commun multiple, ppcm, rotation, translation
  • Article : Géométrie Tropicale-Lycée Stendhal (Milan)-
    Cet article introduit deux opérations sur les nombres réels, appelées la somme tropicale (qui correspond au minimum) et la multiplication tropicale (qui correspond à l'addition classique). En remplaçant les opérations classiques de somme et de multiplication par ces deux opérations tropicales, on obtient un système cohérent, qui possède des propriétés agréables. L'article présente certaines de ces propriétés, ainsi que des exemples de résolutions d'équations tropicales. Il montre également qu'on peut étendre la notion de droite à ce nouveau contexte, en définissant des droites tropicales.
    Mots clés: Géométrie tropicale, arithmétique, équation Voir aussi : https://sites.google.com/site/blogmatita/maths-stendhal/math-en-jeans
  • Article : Les amida-kuji - Collège Mario Meunier (Montbrison)
    Cet article traite de l'étude des Amida-Kuji, jeu de hasard japonais consistant à associer, par exemple, une tâche ménagère à chacun des membres de la famille. Après une explication du jeu, les auteurs démontrent pourquoi chaque membre aura une et une seule tâche. Puis ils expliquent une méthodologie pour associer à chaque membre la tâche désirée et enfin proposent une minimisation de cette stratégie.
    Mots clés: amidakuji, hasard, aléatoire, jeu de hasard, permutation, barre, minimum Voir aussi : http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/col-42/mmeunier/siteleves/index-eleves.htm


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